1、4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲展示1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式考点1三角函数的诱导公式诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos _余弦cos cos cos _sin sin 续表组序一二三四五六正切tan tan tan _口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限答案：cos cos tan (1)教材习题改编已知f(x)sin2sin4cos 2x3cos，则f的值为()A0 B1 C5 D9答案：C
2、(2)教材习题改编已知cos ，则sin_.答案：解析：sincos .诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了sin(2 010)的值是_答案：解析：sin(2 010)sin 2 010sin(5360210)sin 210sin(18030)sin 30.典题1(1)2017浙江台州中学高三月考已知sin，则cos()A. B C. D答案D解析根据诱导公式可知，sin coscos，故选D.(2)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.答案1解析原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(336
3、0120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(3)设f()，其中12sin 0，则f_.答案解析f()，f.点石成金利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值考点2同角三角函数的基本
4、关系 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2cos2_；(2)商数关系tan .答案：(1)1(1)教材习题改编已知cos ，且是第四象限角，则sin 的值为_答案：解析：由于是第四象限角，故sin .(2)教材习题改编已知tan 2，则_.答案：21.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区下列命题正确的有_(填序号)若，为锐角，则sin2cos21；若R，则tan 恒成立；sin2cos2sin2cos2.答案：解析：只有当时，才有sin2cos21；因为cos 0，则k，kZ；根据平方关系式，可得正确2诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名(1)若sin(3)，则sin _
5、.(2)若cosm，则sin _.答案：(1)(2)m解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3)sin(2)sin()；再应用公式二，得sin()sin ，故sin .(2)因为可看作是第二象限角，所以cossin ，故sin m.有关结论(1)_.答案：cos2解析：由sin2cos21和tan ，得tan2cos2cos21，故cos2.(2)_.答案：|sin cos |解析：因为1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2，所以|sin cos |.典题2(1)2017甘肃兰州诊断已知sin()log8 ，且，则tan(2)的值为()A B. C D.答案B解
6、析sin()sin log8 ，又因为，则cos ，所以tan(2)tan()tan .(2)已知sin cos ，且0，则tan _.答案解析解法一：联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形的内角，tan .解法二：sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0.sin cos .由得tan .题点发散1保持本例(2)中条件不变，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由母题，可知ta
7、n .(1).(2)sin22sin cos .题点发散2若本例(2)中条件变为“5”，求tan 的值解：解法一：由5，得5，即tan 2.解法二：由5，得sin 3cos 15cos 5sin ，6sin 12cos ，即tan 2.题点发散3若本例(2)中的条件和结论互换：已知是三角形的内角，且tan ，求 sin cos 的值解：由tan ，得sin cos ，将其代入 sin2cos21，得cos21，cos2，易知cos 0，cos ，sin ，故 sin cos .点石成金同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan
8、 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan (sin cos )22sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 1.若3sin cos 0，则的值为()A. B.C. D2答案：A解析：3sin cos 0cos 0tan ，.22017四川雅安模拟已知sin cos ，则sin cos 的值为()A. B.C D答案：C解析：由题意，知(sin cos )2，12sin cos ，2sin cos ，由(sin
9、 cos )212sin cos 1，可得sin cos .又，sin bc BbcaCcba Dcab答案：C解析：asin 33，bcos 55sin 35，ctan 35，又0cos 35ba.32015四川卷已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_答案：1解析：由sin 2cos 0，得tan 2.所以2sin cos cos21. 课外拓展阅读 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用典例(1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2(2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，则C
10、_.思路分析(1)角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论解析(1)当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.所以A的值构成的集合是2，2(2)由已知，得22，得2cos2A1，即cos A，当cos A时，cos B，又A，B是三角形的内角，所以A，B，所以C(AB).当cos A时，cos B.又A，B是三角形的内角，所以A，B，不合题意综上，C.答案(1)C(2)温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用提醒 完成课时跟踪检测(十九)
