1、第2课时空间图形的公理4及等角定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握公理4和“等角定理”(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角(难点)1.通过学习公理4和等角定理，培养逻辑推理素养.2.通过学习异面直线所成角的定义及求异面直线所成的角提升直观想象能力.1公理4(1)条件：两条直线平行于同一条直线(2)结论：这两条直线平行(3)符号表述：.2等角定理(1)条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行(2)结论：这两个角相等或互补思考1：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？提示：当两个角
2、的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补3空间两条直线的位置关系共面直线异面直线：不共面的两条直线且没有公共点4异面直线所成的角定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角取值范围异面直线所成的角的取值范围：特例当时，a与b互相垂直，记作ab思考2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定可能是相交，平行或异面1如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面答案D2已知a
3、，b是平行直线，直线c直线a，则c与b()A不平行 B相交C平行D垂直Cab，ca，cb.3空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行，若A70，则B_.70或110若A的两边与B的两边方向均相同或均相反，则B70；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B110.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与BC1所成的角的大小为_45BB1AA1，B1BC1为直线AA1与BC1所成的角，其大小为45.公理4的应用【例1】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：
4、ACBD.解(1)证明：如题图，在ABD中，EH是ABD的中位线，EHBD，EHBD.又FG是CBD的中位线，FGBD，FGBD，FGEH，E，F，G，H四点共面，又FGEH，四边形EFGH是平行四边形(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH，ACBD.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.1.已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点求证：四边形MNAC是梯形证明连接AC(图略)M，N为CD，AD的中点
5、，MN綊AC.由正方体性质可知AC綊AC，MN綊AC，四边形MNAC是梯形.等角定理的应用【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.证明(1)ABCDA1B1C1D1为正方体，AD綊A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，AM綊A1M1，四边形AMM1A1为平行四边形，MM1綊AA1.又AA1BB1且AA1BB1，MM1綊BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
6、C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角，BMCB1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1，BMCB1M1C1.1空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补2证明角相等，一般采用以下途径：(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等2在正方体ABCD
7、A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN.证明取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，CMBK.又A1KBQ且A1KBQ，四边形A1KBQ为平行四边形，A1QBK，由公理4有A1QCM，同理可证A1PCN，由于PA1Q与MCN对应边分别平行，且方向相反，PA1QMCN.求异面直线所成的角探究问题1已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？提示：如图，在空间中任取一点O，作直线aa，bb，则两条相交直线a，b所成的锐角或直角即两条异面直线a，b所成的角2a与b所成
8、角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？提示：a与b所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上【例3】如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF，求异面直线AD，BC所成角的大小思路探究根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决解如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角因为ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M，作MHEF于H，在
9、RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD，BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60.1若将例题中“ADBC2”，改为“ADBC且ADBC”，求EF与AD所成的角解如例3图中，EM綊AD，MF綊BC，又ADBC.EMMF，MEF就是EF与AD所成的角或其补角，ADBC，EMMF，EMF90EMF为等腰直角三角形，MEF45，即EF与AD所成的角为45.2若将例题中“ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF”改为：“ABCD，且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD中点”，求EF与AB所成角的大
10、小解取AC的中点G，连接EG，FG，则EG綊AB，GF綊CD.故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由ABCD，知EGFG，EFG为等腰三角形当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角度，常放在三角形内求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异
11、面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小1思考辨析(1)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad.()(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线()(3)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则
12、a，b是异面直线()解析(2)，也可能平行(3)，可能平行、相交、异面答案(1)(2)(3)2下列结论中正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.ABCDB错，可以异面正确，公理4.错误，和另一条可以异面正确，由平行直线的传递性可知3已知直线a，b，c，下列三个命题：若ab，ac，则bc；若ab，a和c相交，则b和c也相交；若ab，ac，则bc.其中，命题正确的是_(填序号)项正确；项不正确，有可能相交也有可能异面；项不正确，可能平行，可能相交也可能异面4如图，已知长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2.(1)BC和AC所成的角是多少度？(2)AA和BC所成的角是多少度？解(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角在RtABC中，AB2，BC2，所以BCA45.因此，异面直线BC和AC所成的角为45.(2)因为AABB，所以BBC是异面直线AA和BC所成的角在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，BBC60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.
