1、3等 比 数 列第1课时等比数列的概念及通项公式知能目标解读1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列，并能确定等比数列的公比.2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.4.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题.重点难点点拨重点：等比数列的定义和通项公式的应用.难点：等比数列与指函数的关系.学习方法指导1.等比数列的定义要正确理解等比数列的定义，应注意以下几方面：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.均为同一常数，即比值相等，由此体现了
2、公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒.如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列.常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列.当常数列各项不为0时，它是等比数列，且公比q=1.注意：(1)由等比数列的定义知，要证明一个数列是等比数列，只需证明对任意nN+，是一个常数或证明对任意nN+且n2，是一个
3、常数，这时所说的常数是指一个与n无关的常数.(2)要证明一个数列不是等比数列，可证明或 (n2)不是一个常数，也可以采用举反例的方法，举一个反例即可.2.等比数列的通项公式（1）等比数列的通项公式：首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1 (a10,q0).（2）等比数列通项公式的推导教材上是采用的不完全归纳法推导等比数列的通项公式为an=a1qn-1.除此之外，还可以用如下方法推导.方法1：累积法：因为=q, =q,=q，=q,将这n-1个式子相乘得=qn-1,所以an=a1qn-1.方法2：迭代法：根据等比数列的定义有an=an-1q=an-2q2=a2qn-2=a1q
4、n-1.（3）通项公式中的基本量：通项公式中涉及的基本量有：a1,q,n,an，知道其中的三个，可以求出第四个量，即“知三求一”问题.注意：由等比数列的通项公式an=a1qn-1可知，要写出其通项，必须知道a1和q，因此要确定通项公式，需两个独立的条件.（4）等比数列通项公式的变形形式：若an是公比为q的等比数列，则对任意的m,nN+，有an=amqn-m.an=a1qn-1am=a1qm-1由得=qn-m，an=amqn-m.这里的an=amqn-m可以看成是通项公式的另一种形式.注意：在已知a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1可以求出等比数列中的任意一项;在已知等比数列任意两项
5、的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.（5）用函数的观点看等比数列的通项等比数列an的通项公式an=a1qn-1，可以改写为an=qn.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而y=qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图像是函数y=qx的图像上的一群孤立的点.例如，当a1=1，q=2时，an=2n，表示这个数列各项的点就都在函数y=2x的图像上，如下图所示：3.等比中项(1)在a,b同号时，a,b的等比中项有两个，它们互为相反数；在a,b异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起（有穷数列的末项除外）每一项都是它的前一项与后一项的等比中项.
6、(3)若a,b,c成等比数列，则b2=ac;反过来，若b2=ac，则a,b,c不一定成等比数列，如a=b=0.特别地，若a,b,c均不为零时，则a,b,c成等比数列b2=ac.(4)注意a,b,c成等比数列与b=是不等价的.知能自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.2.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列an的首项为a1,公比为q(q0),填表：递推公式通项公式=q(n2)an=3.等比中项（1）如果三个数x,G,y组成，则G叫做x和y的等比中项.（2）如果G是x和y的等比中项，那么,即.答案1.第2项同一个常数公比q2.a1qn-13.等比数列G2=xyG=
