1、专题六 概率与统计第1讲排列、组合、二项式定理考情研析1.高考中主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.核心知识回顾1排列排列数公式：An(n1)(nm1)(mn，m，nN*)2组合(1)组合数公式：C(mn，m，nN*)，由于0！1，所以C1.(2)组合数的性质3二项式定理(1)二项展开式(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)通项：Tk1Cankbk(k0,1,2，n)(2)二项式系数的有关性质二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数
2、项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1；若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.热点考向探究考向1 两个计数原理例1(1)(2019哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)2020年东京夏季奥运会将设置4100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由
3、泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有()A144种B24种 C12种D6种答案D解析由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有2种安排方法，共计224种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有426种不同的安排方法故选D.(2)某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有_种选考方法()A6B12 C18D24答案C解析从物化生中选
4、一科，从史地政中选两科，有：CC9，从物化生中选两科，从史地政中选一科，有CC9，所以共有9918种故选C.(3)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A72种B48种C24种D12种答案A解析解法一：首先涂A有C4种涂法，则涂B有C3种涂法，C与A，B相邻，则C有C2种涂法，D只与C相邻，则D有C3种涂法，所以共有432372种涂法解法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224种，D
5、只要不与C同色即可，故D有2种涂法所以不同的涂法共有2424272种应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化1(2019大兴区高三4月一模)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为()A8B10 C15D20答案B解析由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步
6、只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110.故选B.2从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A16种B18种 C22种D37种答案A解析可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有CC12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有CC4种，所以共有12416种不同的情况故选A.3将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A48种B72种 C96种D108种答案B解析如图所示，若点B
7、与D处所染颜色相同，则不同的染色方法有432248种；若点B与D处所染颜色不相同，则不同的染色方法有432124种，由分类加法计数原理可知不同的染色方法有482472种考向2 排列与组合问题例2(1)(2019天一大联考高三阶段性测试)有5名学生需从数学建模、程序设计两门课中选择一门，且每门课至少有2名学生选择，则不同的选择方法共有()A10种B12种 C15种D20种答案D解析根据题意，先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C10种情况，再将2组对应2门课程，有A2种情况，则不同的选择方法种数为10220.故选D.(2)将数字“124467”重新排列后得到不同偶数的个数为()A72B12
8、0 C192D240答案D解析由题意，末尾是2或6，不同偶数的个数为120，末尾是4，不同偶数的个数为A120，故共有120120240.故选D.(3)某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览若A，B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的顺序经过A，B两城市(A，B两城市可以不相邻)，则不同的游览线路有()A120种B240种 C480种D600种答案D解析已知A，B必选，则从剩下的5个城市中再选取3个，有C种情况，此时5个城市已确定，将其全排列共有A种情况，又A，B顺序一定，则根据分步乘法计数原理，得不同的游览线路有600种故选D.解答排列组合问题的常用方法排列组合问题
9、从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决(3)元素相邻，可以利用捆绑法(4)元素不相邻，可以利用插空法(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉(6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来(7)定序问题缩倍法(8)“小集团”问题先整体后局部法1某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85B56 C49D28答案C解析由于丙不入选，相当于从9人中选派3人解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有
10、CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法由分类加法计数原理，共有CCCC49种不同选法解法二：(间接法)从9人中选3人有C种选法，其中甲、乙均不入选有C种选法满足条件的选派方法有CC843549种不同选法2(2019甘肃省高三第一次高考诊断)数术记遗是算经十书中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有()A. B.C.DCCC答案A解析先将
11、14种计算器械分为三组，方法数有种，再排给3个人，方法数有A种故选A.3从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18 C12D6答案B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位，因此排成的三位奇数有CA6个当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法，然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列，因此排成的三位奇数有CCA12个所以由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数考向3 二项式定理例3(1)(2019西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校高三联考)已知
12、(x1)6(ax1)2的展开式中，x3的系数为56，则实数a的值为()A6或1B1或4C6或5D4或5答案A解析因为(x1)6(ax1)2(x1)6(a2x22ax1)，所以(x1)6(ax1)2的展开式中x3的系数是CC(2a)Ca26a230a20，6a230a2056，解得a6或1.故选A.(2)二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A180B90 C45D360答案A解析依题意n10，则10的通项公式Tr1C()10rr.令5r0，得r2.展开式中的常数项T322C180.(3)若(3x1)5a0a1xa2x2a5x5，则a12a23a34a45a5()
13、A80B120 C180D240答案D解析由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5两边求导，可得15(3x1)4a12a2x3a3x25a5x4，令x1得，15(31)4a12a23a35a5，即a12a23a34a45a5240，故选D.解与二项式定理有关问题的四个关注点(1)Tr1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定(2)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项(3)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混(4)二项式系数最大项与展开式系数最大项不同 1(2019拉萨市高三第二次模拟)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80B40 C40D80答
14、案C解析要求(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数，则是xy中x与(2xy)5展开式中x2y3相乘，以及xy中y与(2xy)5展开式中x3y2相乘，二者再相加而(2xy)5展开式中，x2y3项为C(2x)2(y)340x2y3，x3y2项为C(2x)3(y)280x3y2.所以(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的项为40x3y380x3y340x3y3.故选C.2(x2x1)10的展开式中x3的系数为_答案210解析(x2x1)10x2(x1)10C(x2)10C(x2)9(x1)C(x2)(x1)9C(x1)10，所以x3的系数为CCC(C)210.3已知(12x)(12x)2(1
15、2x)3(12x)n的展开式中x的系数恰好是数列an的前n项和Sn，则Sn_，a10_.答案n2n20解析(12x)(12x)2(12x)3(12x)n的展开式中x的系数为C2C2C2C22(123n)n2n，即Snn2n，所以当n2时，anSnSn12n，所以a1020.真题押题真题模拟1(2019雅安市高三第三次诊断)从6人中选出4人分别到碧峰峡、蒙顶山、喇叭河、龙苍沟四个景区游览，要求每个景区有一人游览，每人只游览一个景区，且这6人中甲、乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有()A168种B216种 C240种D360种答案C解析这6人中甲、乙两人不去龙苍沟游览，则不同的选择方案共有
16、NCA240种故选C.2(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12B16 C20D24答案A解析解法一：(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C2C12.故选A.解法二：(12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)，x3的系数为142412.故选A.3(2019高三第二次全国大联考)在8的展开式中，所有有理项的二项式系数之和为()A16B32 C64D128答案D解析 (rN*且r8)，令8kZ，故r0,2,4,6,8.当r0，二项式系数为C1；当r2，二项式系数为C28；当r4，二项式系数为C70；当r6，二项式系数为C28；当r8，二项
17、式系数为C1.故所有有理项的二项式系数之和为12870281128.故选D.4(2019上饶市重点中学六校高三联考)某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组批阅一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是()A216B420 C720D1080答案D解析6人分成4组共有种不同的分组方案，所以共有A241080种分配方案5(2019上饶市重点中学六校高三联考)已知nxdx，则二项式n(x0)展开式中的常数项为()A8B28 C56D120答案B解析nxdxx28，则二项式8的通项公式为Tr1C(x3)8r
18、rCx244r，令244r0可得r6，所以所求常数项为CC28.故选B.金版押题6已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A20B0 C1D20答案D解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.7将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A240种B180种 C150种D540种答案C解析5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有CCA90
19、种方法，当5名学生分成3,1,1时，共有CA60种方法，根据分类计数原理知共有9060150种保送方法8已知关于x的二项式n的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a的值为_答案2解析依题意得2n32，n5，二项式n5的展开式的通项为Tr1C()5rr.令0，得r3.由Ca310a380，解得a2.配套作业一、选择题1将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种B10种 C9种D8种答案A解析2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小
20、组安排到甲、乙两地，有A种方案，故不同的安排方案共有CA12种故选A.2某彩票公司每天开奖一次，从1、2、3、4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有()A14种B21种 C24种D35种答案B解析第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有31332221种3(2019聊城市高三二模)已知n的展开
21、式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为()A. B. CD答案A解析因为n的展开式中前三项的二项式系数的和等于22，所以CCC22，整理得n(n1)42，解得n6，所以二项式6展开式的通项为Tk1C6k6k(1)kx2kC6k(1)kx3k6，令3k60可得k2，所以展开式中的常数项为C62(1)2.故选A.4旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为()A24B18 C16D10答案D解析第一类，甲在最后一个体验，则有A种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有AA种方
22、法，所以小李旅游的方法共有AAA10种故选D.5用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A144个B120个 C96个D72个答案B解析当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数，故符合条件的偶数共有2ACA120(个)6(2019台州市高三4月调研)已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为()A72B96 C120D288答案A解析除甲、乙、丙三人外的3人先排好队，共有A种，这3人排好队后有4个空位，甲只能在
23、丁的左边或右边，有C种排法，乙、丙的排法有A，所以共有ACA72种排队方法故选A.7某校在举办的第25届秋季运动会中，高一三班的甲、乙两位同学从100 m,200 m,400 m,800 m的4个项目中各报2个项目，则甲、乙两位同学所报的项目中至少有1个不相同的选法共有()A30种B36种 C60种D72种答案A解析因为甲、乙两位同学从4个不同的项目中各报2个项目，有CC种选法，其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有CCC30种故选A.8在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为()A50B70 C90D120答案C
24、解析令x1，则n4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rr，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290.故选C.9(2019赤峰市高三4月模拟)某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是()A252B288 C360D216答案A解析因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1
25、名人员，其方法有C，然后再确定完成的工作，其方法有C，然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有C，故当3名教师确定时，完成工作的方法有CCC种；因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，故有三种方法选择教师，第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有C种，第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有C种，第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有C种；故最终选派的方法种数为(CCC)CCC252.故选A.10若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3a11(x2)11，
26、则a1a2a11的值为()A0B5 C5D255答案C解析令x2，则a0(221)(23)95.令x3，则a0a1a110，所以a1a2a11a0(5)5.故选C.11某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为()A16B18 C32D72答案D解析因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1,2,3,4,5,6,7，先研究恰有3个连续空位的情况，若3个连续空位是123或567，另一个空位有3种选法，车的停放方式有A种，故停放方法有23A36种；若3个连续空位是234或345或456，另一个空位有2种选
27、法，车的停放方式依然有A种，因此此种情况下停放方法有3A236种，从而不同的停放方法共有72种故选D.二、填空题12(2019湖北省八市高三3月联考)若(x2)53x4a0a1(x3)a2(x3)2a3(x3)3a4(x3)4a5(x3)5，则a3_.答案26解析令tx3，则(x2)53x4a0a1(x3)a2(x3)2a3(x3)3a4(x3)4a5(x3)5可化为(t1)53(t3)4a0a1ta2t2a3t3a4t4a5t5，则a3C3C3103626.13(2019蚌埠市高三第一次教学质量检查)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都
28、会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为_答案18解析根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有2326种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3618种14编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在4号和5号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为_答案30解析根据A球所在的位置可分三类：(1)若A球放在1号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3216种不同的放法(2)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3216种不同的放法(3)若A球放在2号盒子内，则B球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有332118种不同的放法综上可得不同的放法共有661830种
