1、2015-2016学年四川省成都市新津中学高一（下）4月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点， =， =， =，则向量等于（）A +B +C+D2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab，则正确的是（）AsinAsinB且cosAcosBBsinAsinB且cosAcosBCsinAsinB且cosAcosBDsinAsinB且cosAcosB3要测出杭州夕照山雷锋塔BC的高，从山脚A测得，塔顶B的仰角=45，已知山坡的倾斜角=15，则雷锋塔高BC为（）A70mBCD62m4设四边形ABCD为平行
2、四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D65在ABC中，已知，则ABC的形状为（）A正三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形6已知点O、N、P在ABC所在平面内，且， =，则点O、N、P依次为ABC的（）A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心7在ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）ABCD8已知O为ABC内一点，且，则AOC与ABC的面积之比是（）A1：2B1：3C2：3D1：19在ABC中，C90，则tanAtanB与1的关系为（）AtanA+tanB1BtanAtanB1CtanAtanB=1D不能确定10记
3、maxx，y=，minx，y=，设，为平面向量，则（）Amin|+|，|min|，|Bmin|+|，|min|，|Cmax|+|2，|2|2+|2Dmax|+|2，|2|2+|2二、填空题（共5小题，共25分）11函数的最小正周期为12若向量=（x，2x），=（3x，2），且的夹角为钝角，则x的取值范围是13求值：tan20+tan40+tan20tan40=14设向量，满足=，（），若|=1，则|2+|2+|2的值是15如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为45，则此山的高度
4、CD=m三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知向量=（asin，），=（，cos）（1）当，且时，求sin2的值；（2）当a=0，且时，求tan的值17已知， =（1，）（xR，mR，m是常数）且（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；（2）若时，f（x）的最大值为4，求m的值；（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间18在ABC中，2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影19（1）化简：2sin50+sin10（1+tan10）（2）求证： =4（tan
5、5tan3）20在OAB中， =， =，AD与BC交于点M，设=， =在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设=p， =q（1）用向量表示（2 ）求证： +=121在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值及ABC的外接圆的周长2015-2016学年四川省成都市新津中学高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共50分）1已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点， =， =， =，则向量等于（）A +B +C+D【考点】向量的加法
6、及其几何意义；向量的减法及其几何意义【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解：O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点， =， =， =，则=+=+=+=，故选：C2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab，则正确的是（）AsinAsinB且cosAcosBBsinAsinB且cosAcosBCsinAsinB且cosAcosBDsinAsinB且cosAcosB【考点】正弦定理【分析】利用三角形内角的边角关系，以及余弦函数的单调性，正弦函数的单调性推出结果即可【解答】解：在ABC中，ab，AB，由余弦函数在（0，）是减函数，“cosAcosB”，若A不是钝角，显然有
7、“sinAsinB”成立，若A是钝角，因为A+B，故有BA，故有sinBsin（A）=sinA，sinAsinB且cosAcosB故选：C3要测出杭州夕照山雷锋塔BC的高，从山脚A测得，塔顶B的仰角=45，已知山坡的倾斜角=15，则雷锋塔高BC为（）A70mBCD62m【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由BADCAD求出BAC的度数，再由BDA为直角，BAD为45，得到B为45，在三角形ABC中由AC，sinB及sinBAC的值，利用正弦定理即可求出BC的长【解答】解：BAD=45，CAD=15，BAC=30，又BDA=90，BAD=45，B=45，在ABC中，BAC=30，B=45，AC=6
8、2m，则根据正弦定理=得：BC=62m故选D4设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据图形得出=+=，=， =（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，根据图形可得： =+=，=，=，=（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9故选：C5在ABC中，已知，则ABC的形状为（）A正三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】两角和与差的正切函数【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式求得sin=，
9、可得C=，故ABC的形状为直角三角形【解答】解：ABC中，已知，cot=sinC，即=2sincos又cos0，sin=（舍去），或sin=，=，C=，ABC的形状为直角三角形，故选：C6已知点O、N、P在ABC所在平面内，且， =，则点O、N、P依次为ABC的（）A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心【考点】三角形五心；向量在几何中的应用【分析】根据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心【解答】证明
10、：，O到三角形三个顶点的距离相等，O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，=，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P是三角形的垂心，故选C7在ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系【分析】由B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a，根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再sinA，
11、利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用诱导公式得到cosC=cos（A+B），再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值【解答】解：B为三角形的内角，cosB=0，B为锐角，sinB=，又sinA=，sinBsinA，可得A为锐角，cosA=，则cosC=cos（A+B）=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=故选A8已知O为ABC内一点，且，则AOC与ABC的面积之比是（）A1：2B1：3C2：3D1：1【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】AC的中心点为D，则由加法法则得，代入且，得，即点O为AC边上的中线BD的中点求解【解答】
12、解：设AC的中心点为D则，即点O为AC边上的中线BD的中点，AOC与ABC的面积之比是故选A9在ABC中，C90，则tanAtanB与1的关系为（）AtanA+tanB1BtanAtanB1CtanAtanB=1D不能确定【考点】弦切互化【分析】直接利用钝角三角形的性质，确定sinAcosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项【解答】解：因为三角形是钝三角形，所以A+B；即：，所以sinAcosB，同理sinBcosA，tanAtanB=1故选B10记maxx，y=，minx，y=，设，为平面向量，则（）Amin|+|，|min|，|Bmin|+|，|min|，|Cmax|+|2，|
13、2|2+|2Dmax|+|2，|2|2+|2【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知， +和分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断【解答】解：对于选项A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min|+|，|=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max|+|2，|2=|+|2=4，而不等式右边=|2+|2=2，故C不成立，D选项正确故选：D二、填空题（共5小题，共25分）11函数的最小正周期为【考点】三角函数中
14、的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】利用倍角公式和正弦函数的周期公式即可得出【解答】解：函数=sin2x，故答案为12若向量=（x，2x），=（3x，2），且的夹角为钝角，则x的取值范围是（，）（，0）（，+）【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积表示两个向量的夹角， =（x，2x），=（3x，2），且的夹角为钝角，结合数量积表示两个向量的夹角，我们可以得到一个关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，但要注意，与反向的排除【解答】解：的夹角为钝角又向量=（x，2x），=（3x，2），cos=0即3x2+4x0解x0，或x又当x=时，与反向，不
15、满足条件故满足条件的x的取值范围是（，）（，0）（，+）故答案为：（，）（，0）（，+）13求值：tan20+tan40+tan20tan40=【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用60=20+40，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值【解答】解：tan60=tan（20+40）=tan20+tan40+tan20tan40故答案为：14设向量，满足=，（），若|=1，则|2+|2+|2的值是4【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知向量垂直，它们的数量积为0，结合平面向量数量积的运算性质，求出得|=|=1，从而求得计算结果【解答】解：=，=，又（），（）=0，即（）（）=0，=0
16、，得|=|=1；又，=0，=+2+=1+0+1=2，|2+|2+|2的=1+1+2=4；故答案为：415如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为45，则此山的高度CD=300m【考点】解三角形【分析】把已知数据过渡到ABC中，由正弦定理可得【解答】解：由题意可得BC=CD=x，AB=600，CAB=30，CBA=105，在ABC中，由内角和定理可得BCA=45，由正弦定理可得=，x=BC=300故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
17、演算步骤）16已知向量=（asin，），=（，cos）（1）当，且时，求sin2的值；（2）当a=0，且时，求tan的值【考点】同角三角函数基本关系的运用；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）把a的值代入向量m中，根据推断出=0，进而求得sin+cos=两边平方即可求得sincos即sin2的值（2）把a=0代入中，利用求得sincos=进而求得sin2利用万能公式sin2=求得tan【解答】解：（1）当a=时， =（sin，），=0，得sin+cos=上式两边平方得1+sin2=，因此，sin2=（2）当a=0时，（sin，1），由得sincos=即sin2=s
18、in2=tan=2+或217已知， =（1，）（xR，mR，m是常数）且（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；（2）若时，f（x）的最大值为4，求m的值；（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质；函数的周期性【分析】（1）利用两个向量的数量积以及两角和的正弦公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+）+m+1（2）由题意可得，2sin（2x+）+m+1的最大值为4，由此求得m的值（3）根据f（x）解析式求得它的最小正周期为T=，令 2k+2x+2k+，kz，求出x的范围，即可求得f（x）的单调减区间【解答】解：（1）由题意可得=2cos2x+
19、2sinxcosx+m=cos2x+sin2x+m+1=2sin（2x+）+m+1即 f（x）=2sin（2x+）+m+1（2）由上可得，2sin（2x+）+m+1的最大值为4，故m=1（3）f（x）的最小正周期为T=，令 2k+2x+2k+，kz，解得 k+xk+，kz，故单调减区间为k+，k+，kz18在ABC中，2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理【分析】（）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求
20、出A的余弦值，然后求sinA的值；（）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小【解答】解：（）由可得，可得，即，即，（）由正弦定理，所以=，由题意可知ab，即AB，所以B=，由余弦定理可知解得c=1，c=7（舍去）向量在方向上的投影： =ccosB=19（1）化简：2sin50+sin10（1+tan10）（2）求证： =4（tan5tan3）【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）首先利用关系式进行恒等变换，主要考察切化弦思想的应用，进一步通过三角的恒等变换求出结果（2）将正切关系化为正余弦之比，然后通分，根据两角和与差的正弦公式化简，最后根据正弦函
21、数的二倍角公式可得证【解答】解：（1）2sin50+sin10（1+tan10）=2sin50+sin10（1+）=（2sin50+sin10）cos10=2sin50+sin10）cos10=2（sin50cos10+cos50sin10）=2sin60=（2）证明： =4（tan5tan3）即证=4（）成立，即=4（sin5cos3cos5sin3），即证=4sin2成立，又因为sin8=2sin4cos4=4sin2cos2cos4，所以左边=4sin2=右边，得证20在OAB中， =， =，AD与BC交于点M，设=， =在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设=p，
22、 =q（1）用向量表示（2 ）求证： +=1【考点】向量在几何中的应用【分析】（1）设， =+（1），根据三点共线原理和平面向量的基本道理列方程求出，即可得出答案；（2）用表示出即可得出结论【解答】解：（1）A，M，D三点共线，存在实数使得=（1）+，B，M，C三点共线，存在实数使得=+（1）=+，解得，=+（2）=p， =q，=，=+，E，M，F三点共线，+=121在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值及ABC的外接圆的周长【考点】三角形中的几何计算；余弦定理【分析】（1）由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，已知b2a2=c2可得b=，a=c利用余弦定理可得cosC可得sinC=，即可得出tanC=（2）由SABC=absinC=cc=3，可得c，即可得出b，根据正弦定理求出外接圆的半径，从而求出其周长即可【解答】解：（1）A=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2，b=c可得b=c，a2=b2c2=c2，即a=ccosC=，C（0，），sinC=tanC=2（2）SABC=absinC=cc=3，解得c=2b=3；=2R，R=，ABC的外接圆的周长是：2016年12月5日
