1、【原创】博雅高考2015届高三数学二轮专题拉分训练卷：空间几何体（含解析）一、选择题：共8题 每题5分 共40分1在棱长为的正方体内有一四面体，其中分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查了空间几何体的体积.如图，取E为AD的中点，连BE,CE，因为正方体的棱长为2，所以,所以,所以,所以,由余弦定理可得,所以,所以,又，所以,选D.2如图，在正方形内作内切圆，将正方形、圆绕对角线旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为，则A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查了空间几何体的体积.设正方体的棱长为，正方形ABCD绕对角线AC旋转一
2、周得到的旋转体为两个共底的相等圆锥，所以；圆O绕对角线AC旋转一周得到的旋转体为球，所以，所以，所以选D.3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】本试题主要考查由三视图还原几何体。由题意，三棱锥的三视图可知原几何体是底面为直角三角形的三棱锥，高为2，故体积V=4一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是A.B.C.D.【答案】C【解析】若蚂蚁从A处出发,到棱DD1的中点,再到顶点C1,则图中正方形内的线段应是虚线,故错,排除A、B;
3、若蚂蚁从A处出发,到棱BB1的中点,再到顶点C1,则图对;若蚂蚁从A处出发,到棱A1B1的中点,再到顶点C1,则图中正方形内的线段应为实线,故错,排除D,应选C.5一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是A.B.C.D.【答案】C【解析】设该正三棱锥的底面边长为a,高为h, 则a2=1+1-2cos 120=3,h=1.其底面面积为S=a2sin 60=,该正三棱锥的体积为 V=1=.选C.6已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x,且它的8个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为125,则x的值为A.B.10C.5D.【
4、答案】B【解析】由题易知球的半径为R=,4()2=125,解得x=10,故选B.7一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积是A.4+2B.4+C.4+2D.4+【答案】A【解析】本题考查三视图，空间几何体的表面积.该空间几何体是三棱锥(如图所示). 由图知，,；所以该棱锥的表面积S=4+2.选A.8已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO底面ABC,AC=r,则球的体积与三棱锥体积之比是A.B.2C.3D.4【答案】D【解析】依题意,ABC在大圆上,线段AB是球的直径,也是大圆的直径,故ACB=90,BC=r=AC,SABC=ACBC=r2,三棱锥的体积为SAB
5、CSO=r3,球的体积为r3,故球的体积与三棱锥的体积之比为4,选D.二、填空题：共5题 每题5分 共25分9长方体中，则四面体的体积为 【答案】6【解析】本题考查空间几何体的体积. 如图三棱锥,所以四面体的体积.10一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.【答案】【解析】设球的半径为R,正六边形的边长为a,直六棱柱的高为h,由题意可求得a=,h=,又有关系式()2+a2=R2,得R=1,则球的体积V=.11设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积
6、等于,则球O的表面积等于.【答案】8【解析】设球O的半径OA=R,圆C的圆心为C,半径为r,则OC垂直于截面,OMC就是直线OA与截面所成的角,OMC=45,r2=,r2=.在RtOCM中,易得OC=R,取圆C上一点D,连接CD、OD,则在RtOCD中,R2=r2+(R)2,得R2=2,故球O的表面积等于4R2=8.12已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为24,则正视图中a的值为.【答案】6【解析】由题意得该几何体是底面为矩形,有一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的体积V=a34=24,所以a=6.13如图，在正三棱锥SABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，若侧棱长SA
7、=，则正三棱锥SABC的外接球的体积为.【答案】【解析】本题考查三棱锥的外接球。由已知可得SB平面SAC,所以正三棱锥SABC的外接球即为棱长为的正方体的外接球，可知外接球的半径为，所以体积为三、解答题：共2题 每题12分 共24分14如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r1，母线长l4，M为母线SA上的一个点，且SMx，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求：(1)设f(x)为绳子最短长度的平方，求f(x)表达式；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值.【答案】(1) 底面半径r=1,母线长l=4, 侧面展开图扇形的圆心角.因此,将圆锥侧面展开一个扇形,从点M拉一
8、根绳子围绕圆锥侧面转到点A,最短距离为RtASM中,斜边AM的长度. SM=x,SA=4.;(2)由(1)可得:绳子最短时,定点S到绳子的最短距离等于RtASM的斜边上的高,设这个距离为,则;(3)因为,其中.所以当时,的最大值等于32.【解析】本题考查圆锥的特征及展开图的性质.解题思路如下:(1)先计算出侧面展开图的圆心角,再将圆锥侧面展开,把绳子的最短长度转化为直角三角形斜边的长,再利用勾股定理即可得出结论;(2)由平面几何知识把问题转化为求直角三角形斜边上的高,再利用面积公式即可求解;(3)利用二次函数的性质即可求出最大值.15如图,在平行四边形ABCD中,ABBD,AB=2,BD=,沿
9、BD将BCD折起,使二面角A-BD-C是大小为锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.(1)求证:ODAB;(2)当为何值时,三棱锥C-OAD的体积最大?最大值为多少?【答案】(1)CO平面ABD,BD平面ABD,COBD,BDCD,CDCO=C,BD平面OCD,又OD平面OCD,BDOD,ABBD,ABOD.(2)由题知,OD为CD在平面ABD上的射影,BDCD,又由(1)知BDOD,ODC=,VC-OAD=SOADOC=ODBDOC=ODOC=CDcos CDsin =sin 2,当且仅当sin 2=1,即=45时取等号,当=45时,三棱锥C-OAD的体积最大,最大值为.【解析】本题主要考查线面位置关系的证明、二面角、投影的概念及三棱锥体积的求法等知识,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.
