1、4平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示学习目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点)2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(重点)3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点)自 主 预 习探 新 知1平面向量的坐标表示如图241所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得axiyj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)图241思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的
2、起点、终点的坐标一定相同吗？提示：由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同2平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示(1)平面向量的坐标运算已知a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么：()ab(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)；()ab(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)；()a(x1，y1)(x1，y1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标(2)向量平行的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y
3、2)，若ab，则x1y2x2y10.若y10且y20，则上式可变形为.文字语言描述向量平行的坐标表示()定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例()定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：能将b写成a的形式，当0时，b与a同向，当0时，b与a反向基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1.()(4)向量a(1,2)与b(3，6)共线且同
4、向()答案(1)(2)(3)(4)2若A(2，1)，B(1,3)，则的坐标是()A(1,2)B(1，2)C(3,4) D(3，4)C3若向量a(2,3)，b(1,2)，则ab的坐标为()A(1,5) B(1,1)C(3,1) D(3,5)C4已知向量a(2，3)，b(3，)，且ab，则_.答案合 作 探 究攻 重 难平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标. 【导学号：64012120】解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D
5、，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，).规律方法(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标.(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.跟踪训练1若已知A(1,2)，B(0，1)，C(3，k)(1)求；(2)若已知(m，2)，试求k，m.解(1)A(1,2)，B(0，1)，(1，3)(2)(1，3)(3，k1).由已知(m，2)，m，k.向量平行的坐标表示已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路探究解法一：kabk(
6、1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向法二：由法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kab(a3b)，当k时，kab与a3b平行，并且反向规律方法向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.跟踪训练2已知a(1,0)，b(2,1)(1)
7、当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值. 【导学号：64012121】解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)A，B，C三点共线，R，即2a3b(amb)，解得m.向量坐标的综合应用探究问题1平面向量的坐标与哪些因素有关？提示：平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关 ，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等2向量的坐标与点的坐标有何区别？提示：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以
8、表示一个向量，为加以区分，常说点P(x，y)或者向量a(x，y)，注意前者没有等号，后者有等号3向量共线的条件如何应用？提示：遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用x1y2x2y10，而不选用x1x2，y1y2与(因为后者有b0，需要讨论)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若(R)，试求为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内思路探究先求，坐标后利用条件表示P点坐标，再根据问题可求解设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)，(5,4)(2,3)(3,1)，(7,
9、10)(2,3)(5,7)(3,1)(5,7)(35，17)，(1)若P在第一、三象限角平分线上，则5547，.(2)若P在第三象限内，则1.母题探究1将例3中的条件变为“O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t”，试求当t为何值时，P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限？ 【导学号：64012122】解由t(13t,23t)，则P(13t,23t)若P在x轴上，则23t0，所以t；若P在y轴上，则13t0，所以t；若P在第三象限，则所以t.2将例3的条件变为(母题探究1)的条件，试求四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由解因为(1,2)，(33t,33t)
10、，若OABP是平行四边形，则，所以此方程组无解故四边形OABP不可能是平行四边形规律方法向量坐标运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.当 堂 达 标固 双 基1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)Dab(1,1)(1，1)(1,2)2已知向量a(1,1)，b(x2，x2)，若a，b共线，则实数x的值为()A1 B2C1或2 D1或2D由题意知，1(x2)x210，即x2x20，解得x1或x2.3已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.解析由解得答案74已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_解析(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.答案5已知点A(1，3)，B(1,1)，直线AB与直线xy50交于点C，求点C的坐标. 【导学号：64012123】解设点C(x，y)A、B、C三点共线，(2,4)(2，4)(x1，y3)(2，4)，C(21,43)把点C(21,43)代入xy50得(21)(43)50，解得.C(2,3)
