1、弧长与扇形的面积知识精讲一弧长公式1.圆的周长：2.弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）二扇形面积公式1.圆的面积公式：2.扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）三圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：；（3）圆锥的体积：；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：；（5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有：2.圆柱（1）圆柱的侧面积：（2）圆柱的全面积：四不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例
2、如：弓形面积：三点剖析一考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算二重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积；三易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系；2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的题模精讲题模一：弧长公式例1.1.1 一个扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角为_【答案】 【解析】 设扇形圆心角为，根据弧长公式可得：，解得：例1.1.2 如图，在扇形OAB中，AOB=110，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为_【答案】 5 【
3、解析】 如图，连接OD根据折叠的性质知，OB=DB又OD=OB，OD=OB=DB，即ODB是等边三角形，DOB=60AOB=110，AOD=AOB-DOB=50，的长为=5故答案是：5例1.1.3 如图，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CD与O相切于点E，ADCD于点D（1）求证：AE平分DAC；（2）若AB=4，ABE=60求AD的长；求出图中阴影部分的面积【答案】 （1）AE平分DAC（2）3；【解析】 （1）证明：连接OE，如图，CD与O相切于点E，OECD，ADCD，OEAD，DAE=AEO，AO=OE，AEO=OAE，OAE=DAE，AE平分DAC；（2）解：AB是直径，AEB
4、=90，ABE=60EAB=30，在RtABE中，BE=AB=4=2，AE=BE=2，在RtADE中，DAE=BAE=30，DE=AE=，AD=DE=3；OA=OB，AEO=OAE=30，AOE=120，阴影部分的面积=S扇形AOESAOE=S扇形AOESABE=22=例1.1.4 如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为_cm【答案】 4 【解析】 本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质，解题的关键是弄清正六边形的中心运动的路径每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径
5、旋转60，然后计算出弧长，最后乘以六即可得到答案根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60，正六边形的中心O运动的路程正六边形的边长为2cm，运动的路径为：=；从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，正六边形的中心O运动的路程6=4cm故答案为4题模二：扇形面积公式例1.2.1 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A 175cm2B 350cm2C 200cm2D 150cm2【答案】A例1.2.2 如图，梯形ABCD中，ADBC，C=90，AB=AD=4，BC=6，
6、以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是_【答案】 【解析】 该题考查的是扇形面积的计算扇形面积公式：，梯形的计算问题一般要转换成平行四边形和三角形的问题来解决过点A向BC作垂线，垂足为E，所以，根据勾股定理可知，扇形面积为：E例1.2.3 如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为题模三：圆锥例1.3.1 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A 30cm2B 48cm2C 6
7、0cm2D 80cm2【答案】C【解析】 h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l=10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=1/22610=60，所以圆锥的侧面积为60cm2例1.3.2 如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为_cm2A 4B 8C 12D （4+4）【答案】C【解析】 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键表面积=底面积+侧面积=底面半径2+底面周长母线长2底面圆的半径为2，则底面周长=4，底面半径为2cm、高为2cm，圆锥的母线长为4cm，侧面面积=44=8；底面积为=4，全面积为：8+4=12cm2故选：C例1
8、.3.3 如图，现有圆心角为90的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是_度【答案】 18【解析】 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长易得圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，根据弧长公式即可求得所需扇形的圆心角，让90减去得到的扇形的圆心角即为剪去扇形的圆心角圆锥的底面周长=210=20，设所需扇形的圆心角为n，=20，解得n=72，所以剪去的扇形的圆心角为90-72=18例1.3.4 将半
9、径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_【答案】 【解析】 过点作，垂足为，交于点，由折叠的性质可知，由此可得，在中，同理可得，在中，由内角和定理，得的长为设围成的圆锥的底面半径为，则圆锥的高为题模四：不规则图形面积的巧算例1.4.1 如图，半圆O的直径AB=2，弦CDAB，COD=90，则图中阴影部分的面积为【答案】/4随堂练习随练1.1 如图，以AB为直径的O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1则的长是（）A B C D 【答案】B【解析】 连接OC，ACE中，AC=2，AE=，CE=1，AE2+CE2=AC2，AC
10、E是直角三角形，即AECD，sinA=，A=30，COE=60，=sinCOE，即=，解得OC=，AECD，随练1.2 如图，等边三角形MNP的边长为1，线段AB的长为4，点M与A重合，点N在线段AB上沿线段AB按的方向滚动，直至中有一个点与点B重合为止，则点P经过的路程为_A(M)PNB【答案】 【解析】 该题考查的是弧长的计算点P经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为，根据1=进行计算即可故点P经过的路程为：故答案为：随练1.3 如图：A、B、C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（ ）A B C D 【答案】B【解析】 该题考查的是扇形面积计算扇形面积计算公式为本题中
11、，3个扇形半径均为1，可以放在一起计算，圆心角和为180代入公式，故答案选B随练1.4 如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留）【答案】 3/8随练1.5 已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A 90cm2B 209cm2C 155cm2D 65cm2【答案】A【解析】 点评：本题考查了圆锥的表面面积的计算首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题的关键根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算圆锥的表面积=1013+52=90cm2故选A随练1.5 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图
12、所示，则该几何体的全面积（即表面积）为_（结果保留）【答案】 68 【解析】 本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键几何体的上面部分是圆锥，利用扇形的面积公式即可求解，下面的部分是圆，中间的部分是圆柱，展开图是矩形，利用矩形的面积公式求解，各部分的和就是所求的解圆锥的母线长是：32+42=5圆锥的侧面积是：85=20，圆柱的侧面积是：84=32几何体的下底面面积是：42=16则该几何体的全面积（即表面积）为：20+32+16=68故答案是：68随练1.6 如图，四边形ABCD是菱形，A=60，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60，则图中阴影部分的面积是_【答案】 【解析】 如图，连接BD四边形ABCD是菱形，A=60，ADC=120，1=2=60，DAB是等边三角形，AB=2，ABD的高为，扇形BEF的半径为2，圆心角为60，4+5=60，3+5=60，3=4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在ABG和DBH中，ABGDBH（ASA），四边形GBHD的面积等于ABD的面积，图中阴影部分的面积是：S扇形EBFSABD=2=随练1.7 如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B旋转到点B，则图中阴影部分的面积是【答案】 50/3第 8 页
