1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 38383838 讲：数列通项的求法（构造法）讲：数列通项的求法（构造法）讲：数列通项的求法（构造法）讲：数列通项的求法（构造法）【考纲要求】1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。2、掌握等差数列、等比数列的通项公式。【基础知识】一、数列的通项公式类型三：已知1,(2,0)nnnaparqnpqr=+，一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项。类型四：已知11(0,2,)nnnapaqapqnnN+=+，一般利用待定系数法构造等比数列求通项。类型五：已知11(0)nnnnaaqaa q+=，一般利用倒数构造等
2、差数列求数列的通项。类型六：已知1(2,0)rnnapanp=，一般利用取对数构造等比数列。【方法讲评】例 1已知数列na 满足1a=1，1na+=21na+(nN)，求数列na 的通项公式。解：构造新数列nap+，其中 p 为常数，使之成为公比是na 的系数 2 的等比数列即1nap+=2()nap+整理得：1na+=2nap+使之满足1na+=21na+p=1即1na+是首项为11a+=2，q=2 的等比数列1na+=12 2nna=21n【点评】（1）已知1,(2,0)nnapaq npq=+，一般可以利用待定系数法构造等比数列高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网na+，其公
3、比为.p（2）注意数列1na+的首项为11a+，不是1.a 对新数列的首项要弄准确。【变式演练 1】已知数列na 中，1a=2，1na+=(21)(2)na+nN，求na 的通项公式。例 2已知数列na满足21123451nnaanna+=+=，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz+=+将212345nnaann+=+代入式，得2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz+=+，则222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz+=+等式两边消去 2na，得22(3)(24)(5)222x nxynx
4、yzxnynz+=+，213 110 1 181 3132a+=+=为首项，以 2 为公比的等比数列，因此213101832 2nnann+=，则42231018nnann+=。【点评】本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann+=+转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann+=+，其中要用到待定系数法，从而可知数列231018nann+是等比数列，进而求出数列231018nann+的通项公式，最高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网后再求出数列na的通项公式。【变式演练 2】在数列na 中，231=a，12nnaa=63n，求通项公式na.例 3已
5、知数列na满足1123 56nnnaaa+=+=，求数列 na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax+=+将123 5nnnaa+=+代入式，得123 55225nnnnnaxax+=+，等式两边消去 2na，得13 5525nnnxx+=，两 边 除 以 5n，得 352,1,xxx+=则代 入 式 得1152(5)nnnnaa+=由1156510a=及式得50nna，则11525nnnnaa+=，则数列 5 nna 是以1151a=为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna=，故125nnna=+。例 4已知数列na满足123 2nnnaa+=+，12a=，求数列na的通
6、项公式。解：123 2nnnaa+=+两边除以12n+，得113222nnnnaa+=+，则113222nnnnaa+=，故数列2nna是以1222a11=为首项，以 23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan=+，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网所以数列na的通项公式为31()222nnan=。【变式演练 4】数列na 满足1221nnnaa=+(2)n 且481a=。求(1)1a、2a、3a(2)是否存在一个实数 ，使此数列2nna+为等差数列？若存在求出 的值及na；若不存在，说明理由。类型四构造法四使用情景已知11(0,2,)nnnapaqa
7、pqnnN+=+解题步骤一般利用待定系数法构造等比数列求通项。例 5数列 na中，nnnaaaaa+=+122123,2,1，求数列 na的通项公式。解：)(,3132231121212nnnnnnnnnnkaahkaaaaaaaa=+=+=+设得比较系数得1,3131,1,31,32=+hkhkhkhk或解得若取)(31,31,1112nnnnaaaahk=+则有11231121=+aaaann为公比，以是以为首项的等比数列即11)31(+=nnnaa由累差法可得112211)()()(aaaaaaaannnnn+=11)31()31()31()31(232+nn=1)31(1431311)
8、31(111+=+nn=1)31(4347n高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网类型五构造法五使用情景已知11(0)nnnnaaqaa q+=解题步骤一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。例 6已知数列 na满足,1,13111=+=aaaannn求数列 na的通项公式。解：取倒数11113131+=+=nnnnaaaa231)131)1(31111=+=+=nannaaannn是等差数列，式na。类型六构造法六使用情景已知1(2,0)rnnapanp=解题步骤一般利用取对数构造等比数列。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网例 7若数列na 中，1a=3 且21nnaa
9、=+（n 是正整数），求它的通项公式是na。【高考精选传真】1.1.1.1.【2012201220122012 高 考 真 题 广 东 理 19191919】设 数 列 na的 前 n 项 和 为nS，满 足1*1221()nnnSanN+=+，且123,5,a aa+成等差数列。（1111）求1a 的值；（2222）求数列na的通项公式。（3333）证明：对一切正整数 n，有1211132naaa+231211111111311222222nnnaaa+=+高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网由上式得：对一切正整数 n，有1211132naaa+（lfxlbylfxlbylfxl
10、bylfxlby）2.2.2.2.【2012201220122012 高考真题全国卷理 22222222】（本小题满分 12121212 分）（注意：在试卷上作答无效）函数 f(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=x2222-2x-3-2x-3-2x-3-2x-3，定义数列xxxxnnnn如下：xxxx1111=2=2=2=2，xxxxn+1n+1n+1n+1 是过两点 PPPP（4,54,54,54,5）、QQQQnnnn(x(x(x(xnnnn,f(x,f(x,f(x,f(xnnnn)的直线 PQPQPQPQnnnn与 xxxx 轴交点的横坐标.（）证明：2222 xxxxnnnnx
11、xxxn+1n+1n+1n+13333；（）求数列xxxxnnnn的通项公式.下面用数学归纳法证明 23nx当1n=时，12x=，满足123x假设 nk=时，23kx成立，则当1nk=+时，1435422kkkkxxxx+=+，由551152342512432442kkkkxxxx+即123kx+也成立综上可知 23nx对任意正整数恒成立。下面证明1nnxx+由22143432(1)4222nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx+=+由2231120(1)43nnnxxx 即1nnxx+综上可知123nnxx+恒成立。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（2222）由1432
12、nnnxxx+=+得到该数列的一个特征方程432xxx+=+即2230 xx=，解得3x=或1x=14333322nnnnnxxxxx+=+14355(1)122nnnnnxxxxx+=+=+两式相除可得11331151nnnnxxxx+=+,而11323112 13xx=+故数列31nnxx+是以13为首项以 15为公比的等比数列1311()135nnnxx=+,故1119 51433 513 51nnnnx=+。下面用数学归纳法证明 23nx当1n=时，12x=，满足123x假设 nk=时，23kx成立，则当1nk=+时，1435422kkkkxxxx+=+，由55115234251243
13、2442kkkkxxxx+即123kx+也成立综上可知 23nx对任意正整数恒成立。下面证明1nnxx+，。在512 3nnnaa+=式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan+=+设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny+=+将式代入式，得5lglg3lg 2(1)5(lg)nnanx nyaxny+=+，两边消去5lgna 并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny+=+，则lg35lg 25xxxyy+=+=，故lg34lg3lg 2164xy=+代入11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan+=+由1lg
14、3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg71041644164a+=+及式，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网得lg3lg3lg 2lg04164nan+，【反馈训练详细解析】1【解 析】设 递 推 公 式321+=+nnaa可 以 转 化 为)(21tatann=+即321=+ttaann.故 递 推 公 式 为)3(231+=+nnaa,令3+=nnab，则4311=+=ab,且23311=+=+nnnnaabb所以 nb是以41=b为首项，2 为公比的等比数列，则11224+=nnnb,所以321=+nna.2.【解析】(1)Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-
15、3(n+1).an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故 an+1=f(an)=2an+3.(2)an+1+3=2(an+3),an+3为等比数列，首项为 a1+3=6,公比为 2，故 an+3=62n-1=32n.an=32n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+an=3(2+22+2n)-3n=32n+1-6-3n.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网3.【解析】构造新数列nan+，使之成为 q=4 的等比数列，则1(1)nan+=4()nan+整理得：1na+=43nan+满足1na+=431nan+，即331nn=+得1=新数列nan的首项为111a =，q=4 的
16、等比数列14nnan=14nnan=+4.【解析】构造数列3 nna+，为不为 0 的常数，使之成为 q=2 的等比数列即113nna+=2(3)nna+整理得：1na+=12(2 33)nnna+满足1na+=23nna+得12 333nnn+=1=新数列3 nna 是首项为113a=2，q=2 的等比数列 3nna=12 2n na=32nn得12=，d=1，即3nna+是首项为1113232a=，公差 d=1 的等差数列。故1312(1)1322nnann=+=+na=11()322nn+7.【解析】当 n=1 时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当 n=2 时,有：S2=a1
17、+a2=2a2+(-1)2 a2=0；当 n=3 时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知 a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa=+化简得：1122(1)nnnaa=+上式可化为：1122(1)2(1)33nnnnaa+=+高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网故数列2(1)3nna+是以112(1)3a+为首项,公比为 2 的等比数列.故121(1)233nnna+=121222(1)2(1)333nnnnna=i数列na 的通项公式为：222(1)3nnna=.8.【解析】在11)21(31+=nnn
18、aa两边乘以12+n得：1)2(32211+=+nnnnaa令nnnab=2，则1321+=+nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23=所以nnnnnba)31(2)21(32=得5 220nna+，则115 2235 22nnnnaa+=+，故数列5 22nna+是以115 221 1213a+=+=为首项，以 3 为公比的等比数列，因此15 2213 3nnna+=，则113 35 22nnna=。10.【解析】原递推式可化为：)3(2311+=+nnnnaa比较系数得 =-4，式即是：)34(23411+=nnnnaa.则数列341nna是一个等比数列，其首项534111=a，公
19、比是 2.112534=nnna即112534=nnna.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（3）由（2）可知，存在常数21=t，使3nnta+为等差数列，且公差13912=+=tatad，又2331=+ta则)1(233+=+ntann21+=n，即213)21(+=nnna12.【解析】（I）由11,a=及142nnSa+=+，有12142,aaa+=+21121325,23aabaa=+=由142nnSa+=+，则当2n 时，有142nnSa=+得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa+=又12nnnbaa+=，12nnbb=nb是首项13b=，公比为的等比数
20、列（II）由（I）可得1123 2nnnnbaa+=，113224nnnnaa+=数列2nna是首项为 12，公差为 34的等比数列来源.网.1331(1)22444nnann=+=，2(31)2nnan=13.【解析】（1）解：3214324313,4346aaaaaa=（2）证明：2143,nnnaaa+=2113()nnnnaaaa+=又121,4aa=，2113nnnnaaaa+=，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网14.【解析】把原式变形得11nnnnaaaa+=两边同除以1nna a+得1111nnaa+=+1na是首项为 1，d=1 的等差数列故 11(1)(1)nnna=+=1nan=。16.【解析】解：把原式变形为1112(2)nnnnnnaaa aaa+=两边同除以1nna a+得11212nnnnaaaa+=移项得：11112()nnnnaaaa+=所以新数列1nnaa 是首项为11118333aa=q=2 的等比数列。故21123nnnaa+=解关于na 的方程得1221(229)3nnna+=+。
