1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 35353535 讲：平面向量的应用举例讲：平面向量的应用举例讲：平面向量的应用举例讲：平面向量的应用举例【考纲要求】1、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。2、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。【基础知识】一、向量在几何中的应用1、三角形法则、平行四边形法则ABBCAC+=ACABBC=ABADAC+=如果向量 a为非零的向量，那么向量 b与向量 a共线 有且只有一个实数 ，使得ba=；4、向量的平行和垂直(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则1212a bx xy y=+i(竖乘相加).（2）设
2、a=11(,)x y,b=22(,)xy，则12120abx xy y+=（(竖乘相加等于零).设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a|b12210 x yx y=（斜乘相减等于零）（3）设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，为 向 量 a与 b的 夹 角，则121222221122cos|x xy ya ba bxyxy+=+i6、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论。二.向量在物理中的应用：1、向量的加法与
3、减法在力的分解及合成中的应用;2、向量在速度的分解及合成中的应用;高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网3、向量的数量积在力所做的功中的应用;4、利用向量解决物理问题的步骤:（1）问题转化,即把物理问题转化为数学问题;（2）模型建立,即建立以向量为主体的数学模型;（3）参数获得,即求出数学模型的有关解理论参数值;（4）问题答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象。例 1如图，平行四边行 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点，BE、BF 分别与 AC交于 R、T 两点，你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗？解：设,(),.121()211()221()2AB
4、aADbARrACabARACrn ab nREBABAEabmEBm abARAEERrbm abn abb=+=+=+=+=则由于与共线，设由于ER与EB共线，设ER1()2m-1n-mn+020,0m-1n+02113311TC33m ababnma bnmARACACRTACARRTTC+=（）（）由于向量不共线，要使上式为，必须解得同理【变式演练 1】利用向量证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和。AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFFFFRRRRTTTT高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网vv2v1例 2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行
5、运输。如图，一艘船从长江南岸 A点出发，以 5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 2km/h。（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两位有效数字）（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用于江水速度间的夹角表示，精确到度）解：（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以 AD、AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC表示船的实际航行速度。（2）在RT ABC中，|2,|5,ABBC=所以2222|25295.4ACABBC=+=+=，因为05tan,68.2CABCAB=由计算器得【变式演练 2】一条河的两岸平行，河的宽度为 480m，一艘船从某
6、岸的 A 处出发到河对岸，已知船的速度|1v|=12.5km/h，水流的速度|2v|=3.5km/h，当行驶航程最短时，所用的时间是多少？AAAABBBBCCCCDDDDDCBA高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网3已知两点 M(3,0)，N(3,0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|0,MNMPMNoNP+=i0，则动点 P(x，y)到点 M(3,0)的距离 d 的最小值为()A2B3C4D64在ABC 中，已知 a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 a、b、c 成等比数列，ac3，cosB34，则 AB BCi 等于()A.32B32C3D35一质点受到平面上的三个力
7、 F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1、F2 成 60 角，且 F1、F2 的 大 小 分 别 为 2 和 4，则 F3 的 大 小 为()A2 7B2 5C2D66若 O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0,OBOCOBOCOA+=i0，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D以上都不对7若等边ABC 的边长为2 3，平面内一点M满足CM16CB23,CA则 MA MB i_.8在长江南岸渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_9ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的
8、交点为 H，()OHm OAOBOC=+则实数m_.12在 ABCD 中，A(1,1)，AB(6,0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P.(1)若 AD(3,5)，求点 C 的坐标；(2)当|AB|AD|时，求点 P 的轨迹13已知OM(cos，sin)，ON(cosx，sinx)，PQcosx，sinx45cos.(1)当 cos45sinx时，求函数 yON PQ i的最小正周期；(2)当OM ON i1213，OMPQ，x，x 都是锐角时，求 cos2的值高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网14.如图，AD、BE、CF 是ABC 的三条高，求证：
9、AD、BE、CF 相交于一点。15.已知 O 为ABC 所在平面内一点，且满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，求证：AB OC 16.某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为 2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。17.设炮弹被以初速 v0和仰角抛出（空气阻力忽略不计）。当初速度 v0的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远。解：河的宽度为 480m，船的速度|1v|=12.5km/h当行驶航程最短时，需要使得航行的路线是与河岸垂直，在垂直与河岸的分速度是2212.53.512=过河需要 0.480.
10、0412=小时，所用的时间是 0.0460=2.4（分钟）【反馈训练详细解析】1.D【解析】：选 D.F1与 F2的合力 F(lg2lg5,2lg2)(1,2lg2)又 s(2lg5,1)所以 WFs2lg52lg22.2.C【解析】：依题意得3sinAcosB 3cosAsinB1cos(AB)，3sin(AB)1cos(AABCOPBAOvvvvvvvv2a2a2a2a高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网B)，3sinCcosC1,2sinC6 1，sinC6 12.又6C676，因此 C656，C23，选 C.则 AB BC accos AB，BC 234 32.5.A【解析
11、】：由已知得 F1F2F30，F3(F1F2)22223333FFFF 22221111FFFF 22222222FFFF 2F1F222221111FFFF 22222222FFFF 2|F1|F2|cos6028.|F3|2 7.6.C【解析】：由已知得()0,CB ABAC+=i0，设 BC 中点为 D，则0CB AD=i，即中线 AD 与高线重合，ABC 为等腰三角形答案：C7.-2【解析】：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知 A(0,3)，B(3，0)，M(0,2)，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网|OB|25.ODOBOA=+，OD OAOB OAOA=+i
12、i2，ODOA，ODOA0，25252cos(BOD90)25220，cos(BOD90)12，sinBOD12，BOD30，航向为北偏西 30.11.【解析】解：abx2xx2x.m(ab)2(m1)ab10mx2(m1)x10.(1)当 m0 时，x1.(2)当 m0 时，m(x1m)(x1)0，当 m1 或 x1m.当 0m1 时，1x1 时，1mx1.12【解析】解：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)，又 ACADAB=+(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点 C(10,6)高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(2)设 P
13、(x，y)，则 BPAPAB=(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2 为半径的圆且去掉与直线 y1 的两个交点13.【解析】解：(1)cos45sinx，ycos2xsin2x 4sinx5coscos2xsin2xcos2x1cos2x212cos2x12，该函数的最小正周期是.(2)OM ON icoscosxsinsinxcos(x)1213，且x 是锐角，sin(x)1cos2(x)513，OMPQ，cossinx45sincosx0，14.【解析】证：设 BE、CF 交于一点 H，AB=a,AC=b,AH=h,则BH=h a,CH=h b,B
14、C=b aABCDEFH高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网BH AC,CH AB0)()()(0)(0)(=abhabhbahaahbahAH BC又点 D 在 AH 的延长线上，AD、BE、CF 相交于一点16.【解析】解：设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 v a，设OA=a，OB=2aPO+OA=PA PA=v a，这就是感到由正北方向吹来的风速，PO+OB=PB PB=v 2a，于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：PBO=45,PABO,BA=AO从而，POB 为等腰直角三角形，PO=PB=2 a即：|v|=2 a高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网注：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把 v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解。
