1、第4课时 直线与平面垂直的性质基础认知自主学习【概念认知】直线与平面垂直的性质定理【自我小测】1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交B平行C异面D相交或平行【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确 2直线a与直线b垂直，直线b平面，则直线a与平面的位置关系是()Aa BaCa Da或a【解析】选D.ab，b，则a或a.3如图所示，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B平行 C垂直D不确定【解析】选C.因为BA，l，l，所以BAl.同理BCl
2、.又BABCB，所以l平面ABC.因为AC平面ABC，所以lAC.4已知 AF平面 ABCD，DE平面 ABCD，如图所示，且 AFDE，AD6，则EF_【解析】因为 AF平面 ABCD，DE平面 ABCD，所以 AFDE，又 AFDE，所以 AFED 是平行四边形，所以 EFAD6.答案：65如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，以下结论正确的是_异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为 60直线 A1D 与 BC1 垂直直线 A1D 与 BD1 平行三棱锥 A-A1CD 的体积为16 a3【解析】对于，连接 AB1，B1C，AC，则根据正方体的特点可知 A1DB1C，且A
3、1DB1CAC，则三角形 AB1C 为等边三角形，所以 A1D 与 AB1 所成角等于 AB1与 B1C 所成角，其大小为 60，故正确；对于，如图所示，因为 A1DB1C，又 B1CBC1，所以 A1DBC1，故正确；对于，由可知 B1CBC1，又 B1CC1D1，且 BC1C1D1C1，BC1平面 BC1D1，C1D1平面 BC1D1，所以 B1C平面 BC1D1，所以 B1CBD1，则 A1DBD1，故错误；对于，连接 A1C，则三棱锥 A-A1CD 的体积为 V13 S ACDAA113 12 aa a16 a3，故正确答案：6在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别
4、在 A1D，AC 上，且 EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.【证明】如图所示，连接 AB1，B1C，BD，B1D1，因为 DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 DD1AC.又 ACBD，BDDD1D，所以 AC平面 BDD1B1，又 BD1平面 BDD1B1，所以 ACBD1.同理可证 BD1B1C，ACB1CC，所以 BD1平面 AB1C.因为 EFAC，EFA1D，又 A1DB1C，所以 EFB1C.所以 EF平面 AB1C，所以 EFBD1.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1(2021北京高一检测)平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的六个面都是菱形，那么点 D
5、1在面 ACB1 上的射影一定是 ACB1 的()A重心 B垂心 C内心 D外心【解析】选 B.设点 D1 在面 ACB1 中的射影为点 M，连接 B1D1、B1M，则 D1M面 ACB1，可得 D1MAC，该平行六面体各个表面都是菱形，所以 ACA1C1，B1D1A1C1，所以 B1D1AC，所以 AC平面 B1D1M，所以 B1MAC，同理可证 AMB1C，CMAB1，所以点 M 是 ACB1 的垂心2(2021蚌埠高一检测)在三棱柱 ABCABC中，AA底面 ABC，E 和 F 分别是线段 AC 和 BC的中点，如图，下列结论错误的是()A.EFAA BEFABCEFCB DEF平面 A
6、BC【解析】选 C.连接 AC，在 ACB 中，E，F 分别为 AC，CB 的中点，所以 EFAB，因为 AA底面 ABC，AB底面 ABC，所以 AAAB，又 EFAB，所以 EFAA，故 A 正确；因为在三棱柱 ABCABC中，ABAB，又 EFAB，所以 EFAB，故 B 正确；因为 ABBCB，EFAB，故 C 错误；因为 EFAB，AB底面 ABC，EF底面 ABC，所以 EF平面 ABC，故 D 正确3如图(1)，Rt ABC，AC1，AB 3，BC2，D 为 BC 的中点，沿 AD 将 ACD折起到 ACD，使得 C在平面 ABD 上的射影 H 落在 AB 上，如图(2)，则以下
7、结论正确的是()A.ACBD BADBCCBDCD DABCD【解析】选 C.设 AHa，则 BH 3 a，因为 CH面 ABD，AB面 ABD，DH面 ABD，所以 CHAB，CHDH，CHDB，又 Rt ABC 中，AC1，AB 3，BC2，D 为 BC 的中点，所以 CDBD1，BDAB6，所以在 Rt ACH 中，CH（AC）2AH2 1a2，所以在 Rt CHD 中，DH2CD2CH21(1a2)a2，所以 DHaAH，所以ADHDAB6，又ADB23，所以HDB2，所以 BDDH，又 CHDHH，所以 BD面 CDH，又 CD面 CDH，所以 BDCD.二、多选题4如图是一个正方体
8、的平面展开图，则在该正方体中()A.AECD BCHBECDGBH DBGDE【解析】选 BCD.由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AECD，故 A 错误；由 HEBC，HEBC，四边形 BCHE 为平行四边形，所以 CHBE，故 B 正确；因为 DGHC，DGBC，HCBCC，所以 DG平面 BHC，所以 DGBH，故 C正确；因为 BGAH，而 DEAH，所以 BGDE，故 D 正确三、填空题5如图，PAO 所在平面，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面 PBC，其中正确结论的序号是_.【解析】因为 A
9、B 是O 的直径，则 BCAC，又 PAO 所在平面，且 BCO 所在平面，所以 BCPA，又 PAACA，所以 BC平面 PAC，又 AE平面 PAC，所以 AEBC，故正确；因为 AEPC，AEBC，PCBCC，所以 AE平面 PBC，又 PB平面 PBC，所以 AEPB，又 AFPB，且 AEAFA，所以 PB平面 AEF，又 EF平面 AEF，所以 EFPB，故正确；若 AFBC 成立，又 AFPB，且 PBPCP，所以 AF平面 PBC，又 AE平面 PBC，则 AFAE 与已知矛盾，故错误；由可知 AEBC，又 AEPC，且 BCPCC，所以 AE平面 PBC，故正确答案：6如图，
10、在直角梯形 ABCD 中，BCDC，AEDC，且 E 为 CD 的中点，M，N分别是 AD，BE 的中点，将 ADE 沿 AE 折起，则下列说法不正确的是_不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN平面 DEC；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MNAE；不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使 ECAD.【解析】取 AE 的中点 Q，连接 MQ，QN，如下图所示：对于，M，Q 分别为 AD，AE 的中点，所以 MQDE，因为 MQ平面 DEC，DE平面 DEC，所以 MQ平面 DEC，同理可证 QN平面D
11、EC，因为 MQQNQ，所以，平面 MNQ平面 DEC，因为 MN平面 MNQ，所以 MN平面 DEC，正确；对于，因为 AEDE，MQDE，所以 MQAE，同理可得 QNAE，因为 MQQNQ，所以 AE平面 MNQ，因为 MN平面 MNQ，所以 AEMN，正确；对于，因为 ABQN，若 ABMN，由平行线的传递性可知 MNQN，但 MN 与 QN 有公共点 N，这与 MNQN 矛盾，错误；对于，因为 AEEC，若 ADEC，由 AEADA，可得出 EC平面 ADE，因为 DE平面 ADE，可得 ECDE，因此，只需在折起的过程中使得 ECDE，就有 ECAD，正确答案：四、解答题7如图，四
12、棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PC平面 ABCD，PBPD，点 Q 是棱 PC 上异于 P，C 的一点(1)求证：BDAC；(2)过点 Q 和 AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF(点 F 在棱 PB 上)，求证：QFBC.【证明】(1)因为 PC平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 BDPC.记 AC，BD 交于点 O，连接 OP.因为平行四边形对角线互相平分，则 O 为 BD 的中点又 PBD 中，PBPD，所以 BDOP.又 PCOPP，PC，OP平面 PAC.所以 BD平面 PAC，又 AC平面 PAC，所以 BDAC.(2)因为四边形 ABCD 是平行四边形
13、，所以 ADBC.又 AD平面 PBC，BC平面 PBC，所以 AD平面 PBC.又 AD平面 ADQF，平面 ADQF平面 PBCQF，所以 ADQF，所以 QFBC.8.(2021丽水高一检测)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1平面 ABC，AB5，AC3，BCCC14，M 是 CC1 的中点(1)求证：BCAM；(2)若 N 是 AB 上的点，且 CN平面 AB1M，求 BN 的长【解析】(1)因为 CC1平面 ABC，BC平面 ABC，所以 CC1BC.又 AB5，AC3，BC4，所以 AC2BC2AB2，即 BCAC.又 ACCC1C，所以 BC平面 AA1C1C，又 A
14、M平面 AA1C1C，所以 BCAM.(2)过点 N 作 NEBB1 交 AB1 于点 E，连接 ME，由三棱柱 ABC-A1B1C1 可得 BB1CC1，所以 NECC1，即四边形 NEMC 为平面图形又 CN平面 AB1M，CN平面 NEMC，且平面 NEMC平面 AB1MME，所以 CNME，所以四边形 NEMC 为平行四边形，所以 NECM，且 NECM，又点 M 为 CC1 中点，所以 CM12 BB1，且 CMBB1，所以 NE12 BB1，且 NEBB1，所以 BN12 AB52.【综合突破练】一、选择题1如图，P 为 ABC 所在平面 外一点，PB，PCAC，则 ABC 的形状
15、为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】选 B.由 PB，AC 得 PBAC，又 ACPC，PCPBP，所以 AC平面 PBC，ACBC.2如图所示，PA平面 ABC，在 ABC 中，BCAC，PBA1，PBC2，ABC3.则下列关系一定成立的是()Acos 1cos 2cos 3Bcos 1cos 3cos 2Csin 1sin 2sin 3Dsin 1sin 3sin 2【解析】选 B.PA平面ABC，BC平面ABCPABC，ACBC，PAACABC平面 PACBCPC，所以 cos 1ABPB，cos 2BCPB，cos 3BCAB，则有 cos 1cos 3cos
16、 2.3(多选)如图，在以下四个正方体中，直线 AB 与平面 CDE 垂直的有()A.B C D【解析】选 BD.对于由 AB 与 CE 所成角为 45，可得直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于由 ABCE，ABED 且 CEEDE，可得 AB平面 CDE；对于由 AB 与CE 所成角为 60，可得直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于由 ED平面 ABC，可得 EDAB；又可得 CEAB，EDCEE，所以 AB平面 CDE.二、填空题4如图所示，PA平面 ABC，M，N 分别为 PC，AB 的中点，使得 MNAC 的一个条件为_【解析】取 AC 中点 Q，连接 MQ，NQ，则 MQAP
17、，NQBC，由已知条件易得 MQAC，若 ACBC，则 NQAC，所以 AC平面 MNQ，所以 ACMN.答案：ACBC5已知平面 平面 l，EA 于 A，EB 于 B，a，aAB，则直线 a 与 l的位置关系是_【解析】由 EA，EB 知 lEA，lEB，从而 l平面 EAB，而 aAB，aEA，所以 a平面 EAB，所以 la.答案：平行6如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_.【解析】因为 PA平面 ABCD，所以 PAQD.又因为 PQQD，且 PAPQP，所以 QD平面 PAQ，所以 AQ
18、QD，即 Q 在以 AD 为直径的圆上，当圆与 BC 相切时，点 Q 只有一个，故 BC2AB2.答案：2三、解答题7如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN平面 A1DC.求证：MNAD1.【证明】因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 A1DAD1.又因为 CD平面 ADD1A1，AD1平面 ADD1A1，所以 CDAD1.因为 A1DCDD，A1D平面 A1DC，CD平面 A1DC，所以 AD1平面 A1DC.又因为 MN平面 A1DC，所以 MNAD1.8如图，在四棱锥 P-ABCD
19、中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点(1)证明：EO平面 PAD；(2)证明：DE平面 PBC.【证明】(1)连接 AC，因为点 O 是底面正方形 ABCD 的中心，所以点 O 是 AC 的中点，又因为 E 是 PC 的中点，所以在 PAC 中 EO 是中位线，所以 PAEO.因为 EO平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EO平面 PAD.(2)因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC，因为底面 ABCD 是正方形，有 BCDC，PDDCD，所以 BC平面 PDC.而 DE平面 PDC，所以 BCDE.因为 PDDC，可知 PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线，所以 DEPC.又 BC，PC平面 PBC，且 BCPCC，所以 DE平面 PBC.
