1、模块综合检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 已知集合 A=y|y=2x,xR,B=-1,0,1,则下列结论正确的是()A.AB=(0,+)B.(RA)B=(-,0C.(RA)B=-1,0D.(RA)B=1解析A=y|y0,RA=y|y0,(RA)B=-1,0.答案 C2 在等差数列an中,若 a2+a8=12,Sn是数列an的前 n 项和,则 S9等于()A.48 B.54 C.60 D.66解析 S9=54.答案 B3 已知在ABC 中,B=135,C=15,a=5
2、,则此三角形的最大边长为()A.5 B.5 C.2 D.3 解析依题意,知三角形的最大边为 b.由于A=30,根据正弦定理,得 ,所以 b=5.答案 A4 已知在ABC 中,sin Asin Bsin C=324,则 cos C 的值为()A.B.-C.D.-解析abc=sin Asin Bsin C=324,令 a=3k,b=2k,c=4k(k0),cos C=-=-.答案 D5 已知 cb0,则下列不等式中必成立的一个是()A.a+cb+dB.a-cb-dC.adbcD.解析因为 c-d.又 ab0,所以 a+(-c)b+(-d),即 a-cb-d.答案 B6 设 Sn为等差数列an的前
3、n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=()A.8B.7C.6D.5解析Sk+2-Sk=24,ak+1+ak+2=24.a1+kd+a1+(k+1)d=24.2a1+(2k+1)d=24.又 a1=1,d=2,k=5.答案 D7 已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b,c),则 ad 等于()A.3B.2C.1D.-2解析因为 y=x2-2x+3 的顶点为(1,2),所以 b=1,c=2.又因为 a,b,c,d 成等比数列,所以 ad=bc=2.答案 B8 函数 y=log2(-)(x1)的最小值为()A.-3B.3C.4D.-4
4、解析x1,x-10,y=log2(-)=log2(-)log2(2+6)=log28=3.当且仅当 x-1=-,即 x=2 时,等号成立.答案 B9 已知 x,y 为正实数,且 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 的取值范围是()A.RB.(0,4C.4,+)D.(-,04,+)解析原式=+2,又 x,y0,+22 +2=4,当且仅当 ,即 x=y 时,等号成立.答案 C10 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为(,1),则 z=的最大值为()A.4 B.3 C.4D.3解析 z=(x,y
5、)(,1)=x+y.由 画出可行域,如图阴影部分所示.作直线 l0:y=-x,平移直线 l0至 l1位置时,z 取得最大值,此时 l1过点(,2),故 zmax=+2=4.答案 C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 在ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=,C=,则A=.解析由正弦定理,得 sin A=,所以A=.答案 12 若关于 x 的方程 x2+(m+2)x+m+5=0 只有正根,则 m 的取值范围是 .解析设方程的正根为 x1,x2,由题意,得 解得-51 的等比数列,若 a2 013和 a2 014
6、是方程 4x2-8x+3=0 的两根,则 a2 015+a2 016=.解析解方程 4x2-8x+3=0 得方程的两个根是 x1=,x2=,因为 a2 013和 a2 014是方程 4x2-8x+3=0 的两个根,数列an的公比 q1,所以 a2 013=,a2 014=,所以 q=3.所以 a2 015+a2 016=a2 013q2+a2 014q2=(a2 013+a2 014)q2=()32=18.答案 1815 已知 a,b,c 分别为ABC 的三边,且 3a2+3b2-3c2+2ab=0,则 tan C=.解析 cos C=-=-,所以 sin C=.所以 tan C=-2.答案-
7、2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 12 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn.已知 S3=,且 S1,S2,S4成等比数列,求数列an的通项公式.解设数列an的公差为 d.由 S3=,得 3a2=,故 a2=0 或 a2=3.由 S1,S2,S4成等比数列,得 =S1S4.又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0,此时 Sn=0,不合题意;若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得
8、 d=0 或 d=2.因此数列an的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.17(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 1+-.(1)当 m0 时,解这个不等式;(2)若此不等式的解集为x|x5,试求实数 m 的值.分析(1)解含参不等式要就参数的取值范围进行讨论,本题在系数化为 1 时,要注意 m-1 的符号.(2)不等式的解集是不等式所有解的集合,必须注意元素的确定性.和恒成立问题不同,从函数、方程、不等式的统一角度来认识,5 应是方程 =1+-的根.或者根据(1)对 m 进行讨论.解(1)原不等式可化为 m(x+2)m2+x-5,(m-1)xm2-2m-5,若 0m1,则不等式
9、的解集为 -.(2)由题意和(1)知,m1,且满足 -=x|x5,于是 -=5,解得 m=7.18(本小题满分 12 分)在ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边长.已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,求(1)A 的大小;(2)的值.分析由题意,可知 b2=ac,将此式代入 a2-c2=ac-bc,然后利用余弦定理求出A;再由正弦定理或三角形面积公式求出 的值.解(1)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac.又因为 a2-c2=ac-bc,所以 b2+c2-a2=bc.在ABC 中,由余弦定理,得cos A=-,所以A=60.(2)方法一:在ABC 中,
10、由正弦定理得sin B=.因为 b2=ac,A=60,所以 =sin 60=.方法二:在ABC 中,由三角形面积公式得 bcsin A=acsin B,因为 b2=ac,A=60,所以 bcsin A=b2sin B,所以 =sin A=.19(本小题满分 12 分)ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值.(1)证明a,b,c 成等差数列,a+c=2b.由正弦定理,得 sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=
11、sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)解a,b,c 成等比数列,b2=ac.由余弦定理,得 cos B=-,当且仅当 a=c 时,等号成立.cos B 的最小值为 .20(本小题满分 13 分)如图所示,有相交成 60角的两条公路 ZZ,YY,交点是 O.甲、乙分别在OZ,OY 上,起初甲在离点 O3 km 的点 A 处,乙在离点 O1 km 的点 B 处,后来两人同时用 4 km/h 的速度,甲沿 ZZ方向,乙沿 YY 方向步行.(1)起初两人的距离是多少?(2)用包含 t 的代数式表示 t h 后两人的距离.(3)多长时间后,两人之间的距离最短,最短距离是多少
12、?分析第(1)问可用余弦定理直接求解,第(2)问分类讨论的依据要把握好,当甲驶过点 O 时,甲、乙两人行驶的路线的夹角发生了变化,因此,讨论的依据是 t 与 的大小关系.这是本题应注意的一个方面.解(1)设甲、乙两人起初的位置分别是 A 与 B,则 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 60=32+12-231 =7.故起初甲、乙两人的距离是 km.(2)设甲、乙两人 t h 后的位置分别是 P,Q,则 AP=4t,BQ=4t,当 0t 时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos 60,当 t 时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1
13、+4t)cos 120,注意到,上面的两式实际上是统一的.所以 PQ2=48t2-24t+7,t0,+),即 PQ=-,t0,+).(3)因为 PQ2=48(-)+4,所以当 t=h 时,即在第 15 min 末,两人的距离最短,最短距离是 2 km.21(本小题满分 14 分)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数 m,使得 +1?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由.解(1)设等比数列an的公比为 q,则由已知可得 -解得 或 -故 an=3n-1或 an=-5(-1)n-1.(2)若 an=3n-1,则 ()-,故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,从而 +-()-=-()1.若 an=(-5)(-1)n-1,则 =-(-1)n-1,故数列 是首项为-,公比为-1 的等比数列,从而 +-故 +1.综上所述,对任何正整数 m,总有 +1.故不存在正整数 m,使得 +1 成立.
