1、数学试题第 1页（共 4 页）数学试题第 2页（共 4 页）2022 年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试数学参考答案一、选择题：ABCBADBD二、选择题：BCDACACDAD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.6514.xxf32cos)(（答案不唯一）15.2316.x+2y+1=0555或-四、解答题：17.解析：(1)列联表补充如下：年长者年轻人总计电子书41620纸质书81220总计122840224 128 16401.9052.70612 28 20 20K，所以没有足够的理由认为有 90%的认为喜欢阅读电子书与年龄有关；(2)在抽取的 40
2、名顾客的样本中，按照分层抽样的方法在年轻人中抽取 7 名，则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为 4 名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为 3 名，则 X 的所有可能取值为 1，2，3，41343474135CCP XC；22434718235CCP XC；14334712335CCP XC；44471435CP XC故 X 的分布列为X1234P43518351235135418121161234353535357E X 18.解:(1)34)1(41nnan.2Sn=3bn-,当 n2 时,2Sn-1=3bn-1-3,两式相减得 2bn=3bn-3bn-1(n2),即 bn=3bn-1(n2),又 2
3、b1=3b1-3 b1=3当时，数列bn的通项公式为 bn=0.不是等比数列当时，数列bn是首项为，公比为 3 的等比数列,bn=3n.（2）192619.【详解】（1）略（2）4/520解：（1）由条件，在 ABD和 BCD中，CADBAD，ADCADB，CADBADsinsin，ADCADBsinsin在ABD和ACD中，由 正 弦 定 理，得BADBDADBABsinsin，CADDCADCACsinsin，两式相除，得DCDBACAB（3 分）从而，BCACABACDCBCACABABBD，（4 分）在 ABD和 ABC中，ABCABDcoscos，由余弦定理，得BCABACBCABB
4、DABADBDAB22222222（5 分）由，得)()(22222222BDBCBDACBCBDABBCDCACBCABBCBDBDABAD代入上式，得DCBDACABDCBDACABACACABABACABDCBDACACABABABACABACAD)(222（7 分）【另解：平面几何，向量方法等等，酌情判分】（2）由1AD，32A及ABCACDABDSSS，得bccb（9 分）根据基本不等式，得bccbbc2，解得4bc（10 分）由1AD，DCDBACABAD2，得31 bcDCDB（当且仅当2 cb时等号成立）DCDB 的最小值是 3（12 分）【最值另解：不用（1）中等式，借助比例
5、性质及余弦定理；设角变量，利用正弦定理化为三角函数最值等等方法，酌情判分】21.解(1)：椭圆 C 的方程为13622 yx（2）13/222解：（1）由0)cos(sin)(xxexfx，x得)(xf的单调减区间是4，43，数学试题第 3页（共 4 页）数学试题第 4页（共 4 页）同理，)(xf的单调增区间是434，故)(xf的极小值为422)4(ef，极大值为4322)43(ef（2）由对称性，不妨设210 xx，则0)()(222121axxxfxf即为211222)()(axxfaxxf设2)()(axxfxg，则)(xg在，0上单调递增，故02)cos(sin)(axxxexgx在
6、，0上恒成立【方法一】（含参讨论）设02)cos(sin)()(axxxexgxhx，则02)(,01)0(aehh，解得2ea)cos(2)(axexhx，0)1(2)0(ah，)(2)(eah当ea 时，)sin(cos2)(xxexhx，故，当40，x时，0)sin(cos2)(xxexhx，)(xh递增；当，4x时，0)sin(cos2)(xxexhx，)(xh递减；此时，0)(2)()(),0(min)(eahhhxh，)()(xgxh在，0上单调递增，故01)0()()(gxgxh，符合条件当eae2时，同，当40，x时，)(xh递增；当，4x时，)(xh递减；0)1(2)0()4
7、(ahh，0)(2)(eah，由连续函数零点存在性定理及单调性知，0)(),4(00 xhx，于是，当00 xx，时，0)(xh，)()(xgxh单调递增；当，0 xx 时，0)(xh，)()(xgxh单调递减02)(,01)0(aehh，0)()0(min)()(hhxhxg，符合条件综上，实数 a 的取值范围是，2e【方法二】（参变分离）由对称性，不妨设210 xx，则0)()(222121axxxfxf即为211222)()(axxfaxxf设2)()(axxfxg，则)(xg在，0上单调递增，故02)cos(sin)(axxxexgx在，0上恒成立01)0(g，02)cos(sin)(
8、axxxexgx在，0上 恒 成 立，0)cos(sin2xxxxeax设，0)cos(sin)(xxxxexhx，则，0)cossincos2()(2xxxxxxexhx设，2201tan2)(xxxx，则，220cos12)(2xxx由，2200)(xx，得，)(x在，4340上 单 调 递 增；由，2200)(xx，得，)(x在24，432，上单调递减故20，x时022)4()(x；，2x时023)43()(x从而，2200cossincos2cos)(xxxxxxx，又2x时，01cossincos2xxxx，故，00)cossincos2()(2xxxxxxexhx，0)cos(sin)(xxxxexhx单调递减，0)()(minxehxh于是，22eaea综上，实数 a 的取值范围是，2e
