1、课时跟踪训练(五十二) 基础巩固一、选择题1若抛物线y22px的焦点与双曲线y21的右焦点重合，则p的值为()A4 B4 C2 D2解析抛物线的焦点坐标为，由双曲线的方程可知a23，b21，所以c2a2b24，即c2，所以右焦点为(2,0)，所以2，p4.答案B2(2018广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y22px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4 B9 C10 D18解析抛物线y22px的焦点为，准线为x.由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p10.答案C3(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0
2、)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1 C. D2解析抛物线C的焦点坐标为F(1,0)，PFx轴，xPxF1.又y4xP，y4.yP(k0)，yP2，kxPyP2.故选D.答案D4(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2 C2 D3解析解法一：依题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314，又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的
3、距离为42，选C.解法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60，则|MN|MF|4，又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为42，选C.答案C5已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. B.C. D.解析由抛物线定义知|PF|PA|，P点坐标为(3，2)，所以A点坐标为(1,2)，AF与x轴夹角为，所以直线AF的倾斜角为，选B.答案B6设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为
4、()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，165，又p0，解得p2或p8，故选C.答案C二、填空题7已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|2p4时，取
5、得最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案28(2017武汉市武昌区高三三调)已知抛物线：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在上且|PK|PF|，则PKF的面积为_解析由已知得，F(2,0)，K(2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|PF|，又|PK|PF|，|PM|MK|PF|，PFx轴，PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2，2m)(m0)，则m224，解得m，故PFK的面积S428.答案89(2016沈阳质量监测)已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_.解析设l与y轴的交点为B，在RtA
6、BF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|，设P(x0，y0)，则x0，代入x24y中，得y0，从而|PF|PA|y01.答案三、解答题10已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.又FA的方程为y(x1)，故MN的方程为y2x，解
7、方程组得x，y，N的坐标为.能力提升11已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B. C1 D2解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，当直线AB过点F时，等号成立，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，选D.答案D12(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|
8、2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8解析如图，设圆的方程为x2y2R2(R0)，抛物线方程为y22px(p0)，A(m，n)，抛物线y22px关于x轴对称，圆关于x轴对称，且|AB|4，|yA|2，xA.A在圆上，8R2.由抛物线y22px知，它的准线方程为x，|DE|2，R25.联立可解得p4，C的焦点到准线的距离为4.故选B.答案B13(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析解法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为
9、FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.解法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.答案614(2017山东潍坊期末)已知点A为抛物线M：x22py(p0)与圆N：(x2)2y2r2在第二象限的一个公共点，满足点A到抛物线M准线的距离为r.若抛物线M上动点到其准线的距离与到点N的距离之和的最小上值为2r，则p_.解析圆N：(x2)2y2r2的圆心N(2,0)，半径为r.设抛物线x22py的焦点为F，则|AN|
10、AF|2r.由抛物线M上一动点到其准线与到点N的距离之和的最小值为2r，即动点到焦点F与到点N的距离之和的最小值为2r，可得A，N，F三点共线，且A为NF的中点由N(2,0)，F，可得A，代入抛物线M的方程可得，12p，解得p.答案15(2017河北廊坊期末质量监测)我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x2y的图象(如图)，过焦点F作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点P，过
11、点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现是一个定值，试求出该定值解由题意，得线段AB是过抛物线x2y焦点F的弦过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线相交于P点，则P点在抛物线的准线上下面给出证明：由抛物线C：x2y，得其焦点坐标为F.设A(x1，x)，B(x2，x)，直线l：ykx.将直线l的方程代入抛物线C的方程x2y，得x2kx0.x1x2.又抛物线C的方程为yx2，求导得y2x，抛物线C在点A处的切线的斜率为2x1，切线方程为yx2x1(xx1)；抛物线C在点B处的切线的斜率为2x2，切线方程为yx2x2(xx2)由得y.点P的轨迹方程得y，即点P在抛物线的准线上根据抛物线
12、的定义知|NF|NP|，是一个定值1.16设A，B为抛物线y2x上相异两点，其纵坐标分别为1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由解(1)由题知A(1,1)，B(4，2)，设点P的坐标为(xP，yP)，切线l1：y1k(x1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k，即l1：yx，同理，l2：yx1.联立l1，l2的方程，可解得即点P的坐标为.(2)设M(y，y0)，且2y01.由得，即解得则1，即为定值1.延伸拓展(2017广西玉林陆川中学期末)从抛物线y24x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点若直线AB的倾斜角为，则P点的纵坐标为()A. B. C. D2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1，y)，则kAB.直线AB的倾斜角为，y1y2.切线PA的方程为yy1(xx1)，切线PB的方程为yy2(xx2)，即切线PA的方程为yxy1，切线PB的方程为yxy2.y1，y2是方程t22yt4x0两个根，y1y22y.y.故选B.答案B
