1、 1 2021-2022 学年下学期高一第一次月考数学试卷（试卷总分：150 分，考试时间：120 分钟）班级 姓名 考号 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量2,3=(3,2)ab=()，则|ab=（）A2B2C5 2D502在下列各组向量中，能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A12(0,0),(1,2)ee=B12(1,2),(5,7)ee=C12(3,5),(6,10)ee=D1213(2,3),(,)24ee=3在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知3437abc，则ABC
2、 的最大内角为()A120 B90 C150 D604.ABC 中，13ADAB=,点 E 是 CD 的中点，设,ABa ACb=则 AE=（）A 1126ab+B 1263ab+C 1123ab+D 1162ab+5在 ABC中，若0AC BC=，且22|ABACABAC=，则 ABC为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形6边长为 1 的正方形 ABCD 上有一动点 P，则向量 AB AP的范围是（）A0，1B0,2C1,2D17.在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，B=60，2bac=，则ABC 一定是（）A底边和腰不相等的等腰三角形B钝角三角形C
3、直角三角形D等边三角形8奔驰定理：已知O 是 ABC内的一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC+=“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”设O 为三角形 ABC 内一点，且满足2332OAOBOCABBCCA+=+，则(AOBABCSS=)A 12B 25C 13D 16二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知()()()2,10,2(2
4、,1)0,0ABCO，则下列结论正确的是()A直线 OC 与直线 BA 平行BABBCCACOA OCOB+=DACOB 2OA10.在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知50 3,150,30bcB=，则边长 a 的值为（）A100 3B50 3C 25 3D 20 311若平面向量,a b c 两两的夹角相等，且|1,|1,|3abc=，则|abc+=（）A1B2C4D 512在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若252coscos22ACB+=，且ABC 面积为234 b，则角 B 不可能是（）A 6B 3C 56D 23三、填空题：（共 4
5、 小题，每题 5 分，共 20 分）13已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且a b，则实数 m14.已知(2,3),(4,3)AB,点 P 在线段 AB 的延长线上，且3|2APPB=，则点 P 的坐标是15如图，设,Ox Oy 是平面内相交成 60角的两条数轴，12,e e 分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OPxeye=+，则把有序实数对（x,y）叫做向量OP 在坐标系 xOy 中的坐标.若1232aee=+，则（1）|OP=；（2）设122btee=+，其中tR，且,a b 的夹角为锐角，则 t 的取值范围是16已知ABC 中，222sinsinsinsin
6、sinABCBC=，若 BC=3，则ABC 周长的最大值为.2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)如图，已知 O 为平面直角坐标系的原点，AOB=ABC=120，|2|2OABCABa=（1）求点 B 与点 C 的坐标；（2）求向量 BC 在向量OA 上的投影向量18(本小题满分 12 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，12AEAB=，11,33AFAD BGBC=，设,ABa ADb=（1）用,a b 分别表示,EF EG；（2）如果3|,2ba EF EG=有什么位置关系？用向量法证明你的结论 19(本小题满
7、分 12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量()(cossin)mabnAB，且/mn（1）求角 A；（2）若72ab，求ABC 的面积20(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 cos3 sin0aCaCbc （1）求 A；（2）若 a2，则ABC 的面积为 3，求 b，c21(本小题满分 12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 sincos2sincosBBcAAa+=（1）求 A；（2）若 a2，D 为 BC 的中点，2ADAB AC，求ABC 的面积 22(本小题满分 1
8、2 分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径一种从 A 沿直线步行到C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到C 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50m/min 在甲出发2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留1min 后，再从 B 匀速步行到C 假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路 AC 长为1260m，经测量，4sin5C=，63sin65B=，B为钝角（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步
9、行的速度应控制在什么范围内？3 2021-2022 学年下学期高一第一次月考数学试卷（试卷总分：150 分，考试时间：120 分钟）班级 姓名 考号 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量2,3=(3,2)ab=()，则|ab=（）A.2B.2C.5 2D.501.【答案】A【解答】2,3=(3,2)|2,3(3,2)|(1,1)|2abab=()，()2在下列各组向量中，能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A.12(0,0),(1,2)ee=B.12(1,2),(5,7)ee=C.12(3,5),(6,10
10、)ee=D.1213(2,3),(,)24ee=2.【答案】B【课本 60 页第（6）题】3在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知3437abc，则ABC 的最大内角为()A.120 B.90 C.150 D.603.【答案】A【解析】cacb，角 C 最大.由余弦定理，得2222coscababC ，即 3791624cos C，1cos2C0180C，C120.故选 A.4.ABC 中，13ADAB=,点 E 是 CD 的中点，设,ABa ACb=则 AE=（）A.1126ab+B.1263ab+C.1123ab+D.1162ab+4.【答案】D【课本第 36 页复
11、习巩固 1】5在 ABC中，若0AC BC=，且22|ABACABAC=，则 ABC为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形5【答案】C【课本第 52 页第 1 题改编】解：在 ABC中，0AC BC=，可得 ACBC，2C=，且22|ABACABAC=，可得2cos2A=，所以4A=，所以三角形是等腰直角三角形，故选：C 6边长为 1 的正方形 ABCD 上有一动点 P，则向量 AB AP的范围是（）A0，1B0,2C1,2D16【答案】A 解：【极端位置求最值】如图，分别以 AB，AD 为 x，y 建立平面直角坐标系，则(0,0)A，(1,0)B，(1,1)C，(0,1)
12、D，设(,)P x y，当 P 在边 AB 或 CD 上时，01x，01AB AP；当 P 在边 BC 上时，1AB AP=；当 P 在边 AD 上时，0AB AP=AB AP的取值范围是0，1故选：A 7.在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，B=60，2bac=，则ABC 一定是（）A底边和腰不相等的等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等边三角形7【答案】D【教师用书 88 页】8 奔 驰 定 理：已 知 O 是ABC内 的 一 点，BOC，AOC，AOB的 面 积 分 别 为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
13、因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”设O 为三角形 ABC 内一点，且满足2332OAOBOCABBCCA+=+，则(AOBABCSS=)A 12B 25C 13D 168【答案】C 解：O 为三角形 ABC 内一点，且满足2332OAOBOCABBCCA+=+，233()2()()320OAOBOCOBOAOCOBOAOCOAOBOC+=+=，0ABCSOASOBSOC+=13AOBAOBCABCAOBBOCAOCABCSSSSSSSSSS=+，故选：C二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目
14、要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知()()()2,10,2(2,1)0,0ABCO，则下列结论正确的是()A直线 OC 与直线 BA 平行BABBCCACOA OCOB+=DACOB 2OA9.【答案】ACD 解析：【课时作业 008 第 7 题】因为OC(2,1)，BA(2，1)，所以OC BA，又直线 OC，BA 不重合，所以直线 OCBA，所以 A 正确；因为ABBCACCA，所以 B 错误；因为OA OC(0,2)OB，所以 C 正确；因为AC(4,0)，OB 2OA(0,2)2(2,1)(4,0)，所以 D 正确10.在ABC 中，角 A，B，C
15、 对应的边分别为 a，b，c，已知50 3,150,30bcB=，则边长 a 的值为（）A100 3B50 3C 25 3D 20 310【答案】AB【教师用书 88 页第 11 题改编】11若平面向量,a b c 两两的夹角相等，且|1,|1,|3abc=，则|abc+=（）A1B2C4D 511.【答案】BD【课本 61 页第 13 题（6）改编】12在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若，且ABC 面积为，则角不可能是（）ABCD【答案】ACD【解析】，即，所以，利用正弦定理得：，将代入可得：，因为，所以或，22coscos252ACB+=234 bB635623(
16、)()22coscoscos1 cos252ACBACAC+=+=5coscossinsin1 coscossinsin2ACACACAC+=3sinsin4AC=213sin24ABCSacBb=213sinsinsinsin24ACBB=3sinsin4AC=3sin2B=()0,C3C=23C=4 因为，且，所以，所以，角不可能是,故选：ACD三、填空题：（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且a b，则实数 m13【答案】4【课时作业 008 第 1 题改编】14.已知(2,3),(4,3)AB,点 P 在线段 AB 所在的延长线上，且
17、3|2APPB=，则点 P 的坐标是14【答案】(8,15)【课本 37 页第 13 题改编】15如图，设,Ox Oy 是平面内相交成 60角的两条数轴，12,e e 分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OPxeye=+，则把有序实数对（x,y）叫做向量OP 在坐标系 xOy 中的坐标.若1232aee=+，则（1）|OP=；（2）设122btee=+，其中tR，且,a b 的夹角为锐角，则 t 的取值范围是15【答案】（1）19；（2）7,34tt 且【课本 37 页第 15 题改编】16已知ABC 中，222sinsinsinsin sinABCBC=，若 BC=3，则
18、ABC 周长的最大值为.16【答案】32 3+.【详解】【2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）解答题 17 题，均值不等式求最值】由正弦定理可得：222BCACABAC AB=，2221cos22ACABBCAAC AB+=，()0,A，23A=.由余弦定理得：222222cos9BCACABAC ABAACABAC AB=+=+=，即()29ACABAC AB+=.22ACABAC AB+（当且仅当 ACAB=时取等号），()()()22223924ACABACABAC ABACABACAB+=+=+，解得：2 3ACAB+（当且仅当 ACAB=时取等号），ABC周长32 3L
19、ACABBC=+，ABC周长的最大值为32 3+四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)如图，已知 O 为平面直角坐标系的原点，AOB=ABC=120，|2|2OABCABa=（1）求点 B 与点的坐标；（2）求向量 BC 在向量OA 上的投影向量.17.【教师用书 88 页】18(本小题满分 12 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，12AEAB=，11,33AFAD BGBC=，设,ABa ADb=（1）用,a b 分别表示,EF EG；（2）如果3|,2ba EF EG=有什么位置关系？用向量法证明你的结论 18【
20、课本 37 页第 11 题改编】19(本小题满分 12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量()(cossin)mabnAB，且/mn（1）求角 A；（2）若72ab，求ABC 的面积19.【教师用书 88 页第 16 题】20(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 cos3 sin0aCaCbc （1）求 A；（2）若 a2，则ABC 的面积为 3，求 b，c20.【课本 54 页第 22 题】2cos2cos522ACB=2cos12AC51cos222B=3B=B65623 5 21(本小题满分 12 分)
21、已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 sincos2sincosBBcAAa+=（1）求 A；（2）若 a2，D 为 BC 的中点，2ADAB AC，求ABC 的面积21.【2022 届高三 3 月市质检 17 题】22(本小题满分 12 分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径一种从 A 沿直线步行到C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到C 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50m/min 在甲出发2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留1min 后，再从 B 匀速步行到C 假设
22、缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路 AC 长为1260m，经测量，4sin5C=，63sin65B=，B为钝角（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）索道 AB 的长为1040m；（2）乙出发 35 min37后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）1250 625,4314.【详解】（1）在 ABC 中，1260ACm=，4sin5C=，63sin65B=，由正弦定理 sinsinACABBC=可得()41260sin46551260104063
23、sin56365ACCABmB=，故索道 AB 的长为1040m；（2）因为 B 为钝角，则C 为锐角，所以，23cos1 sin5CC=，216cos1 sin65BB=，所以，()()12coscoscossinsincoscos13ABCBCBCBC=+=+=，设乙出发 mint后，甲、乙之间的距离为d，由题意可得104008130t=，则()()()()222212130100502 1301005200 37705013dtttttt=+=+，所以，当35 min37t=时，d 取最小值，因此，当乙出发 35 min37后，乙在缆车上与甲的距离最近；（3）A为锐角，25sin1 cos13AA=，由正弦定理 sinsinBCACAB=可得()51260 135006365BCm=，乙从 B 出发时，甲已经走了()()502 8 1550 m+=，还需走710m 才能到达C，设乙步行的速度为/minv m，则 500710350v，解得12506254314v，所以，为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在 1250 625,4314范围内.
