1、成都七中高2014级高三下期入学考试数学试卷(理科)命题人:罗志英 张世永 审题人:张世永 巢中俊一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.)1. 设集合,则( )ABCD2. 若复数满足(为虚数单位),则为( )ABCD3. 公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,则( )(C A. 2 B. 3 C. D. 4. 若实数,满足不等式组,则的最大值为( ) A. 9 B. C. 1 D. 5 将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为 ( )6.在平面直角坐标系中,直线与圆相交于、两点,则弦的长等于( ) A. B. C. D . 7.
2、把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是( )8.给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称函数在D上存在二阶导函数,记.若在D上恒成立,则称函数在D上为凸函数,以下四个函数在上不是凸函数的是 ( )Asin xcos x Bln x2xCx32x1 Dxex-1yx1O-19.已知定义在上的函数的图像如图所示,对于满足的任意, 错误的结论是( )A. 当时, B. 当时,导函数为增函数 C. D. 10. 若(),则在中,正数的个数是( ) A. 882 B. 756 C.750 D. 37
3、8 二、填空题(本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.)11. 命题“,”的否定是 ;12. 的展开式中的系数为 ;13.椭圆上点处的切线方程是 14. 将边长为1 m的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则s的最小值是_ 15.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与 的夹角,且和都在集合中.给出下列命题: 若时,则. 若时,则. 若时,则的取值个数最多为7. 若时,则的取值个数最多为. 其中正确的命题序号是 (把所有正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,满分75分.其中1619每题12分,20题13分,2
4、1题14分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16. 已知(1)将函数化简成(,)的形式;(2)若,且,求的值.17. 已知数列的前n项和数列的前n项和(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前n项和. w.w.w.18. 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.19. 如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,的中点,(1)设是的中点,证明:平面;(2)证明:在内存
5、在一点,使平面, 并求点到,的距离w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.设函数,其中a,bR.(1)当时, 讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)仅在x0处有极值,求a的取值范围;(3)若对于任意的a2,2,不等式f(x)1在1,0上恒成立,求b的取值范围21. 在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足MPO=AOP.(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;(2)已知,设H是E上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;(3)过点且不平行与y轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率的取值范围.成都七中高2014届高
6、三下期入学考试数学试卷(理科参考答案)CADAB BADCB11., 12. 13. 14.3(3) 15. 16. 解(1) 因为,由有,即.由,知.所以. .17. 解(1)由于当时, 又当时数列是等比数列,其首项为1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) . 得所以.18. 解设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则, (1)记“甲获胜”为事件C, (2)的所有可能为: 综上知,有分布列123从而,(次) 19. 证明:(1)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则,由题意得,
7、因,得到,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面(2) 设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.解 (1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)当a3(10)时,f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)令f(x)0,得x10,x22(1),x32.x(,0)02(1)2(2,)f(x)000f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以
8、f(x)在和(2,)上是增函数,在(,0)和上是减函数(2)f(x)x(4x23ax4),显然x0不是方程4x23ax40的根由于f(x)仅在x0处有极值,则方程4x23ax40有两个相等的实根或无实根,9a24160,解此不等式,得3(8)a3(8).这时,f(0)b是唯一极值因此满足条件的a的取值范围是.(3) 由(2)知,当a2,2时,4x23ax40恒成立当x0时,f(x)0,f(x)在区间(,0上是减函数因此函数f(x)在1,0上的最大值是f(1)又对任意的a2,2,不等式f(x)1在1,0上恒成立,f(1)1,即3ab1.于是ba2在a2,2上恒成立b22,即b4.因此满足条件的b
9、的取值范围是(,421.解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,因此即另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。 MQ为线段OP的垂直平分线,又因此M在轴上,此时,记M的坐标为为分析的变化范围,设为上任意点由(即)得,故的轨迹方程为 综合和得,点M轨迹E的方程为(2)由(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成(见图3):;当时,过作垂直于的直线,垂足为,交E1于。再过H作垂直于的直线,交因此,(抛物线的性质)。(该等号仅当重合(或H与D重合)时取得). 当时,则 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为 (3)方法1: 由图3知,直线的斜率不可能为零。设故的方程得:因判别式所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知,若与E2有交点,则此交点的坐标为有唯一交点,从而与轨迹E有三个不同的交点。因此,直线的取值范围是方法2: 由图3可计算,因为在抛物线内部,当时必与抛物线有两个不同交点,所以直线的取值范围是