1、【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 8：立体几何 一、填空题 1（苏 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 末 考 试 数 学 试 卷）如 图,在 长 方 体1111ABCDA B C D中,3ABADcm,12AAcm,则三棱锥11AB D D的体积为_3cm.A1B1DCBAD1C1【答案】3 2（江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积是_.【答案】18 3 3（扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷）若将一个圆锥的侧
2、面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 cm 的半圆,则该圆锥的高为_cm.【答案】3 4（南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为 23 的扇形,则此圆锥的高为_cm.【答案】2 2 5（徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知三棱锥 PABC的所有棱长都相等,现沿 PA,PB,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 6,则三棱锥 PABC的体积为_.【答案】9;6（江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题）在空间中,用 a,b,c 表
3、示三条不同的直线,表示平面,给出下列四个命题:(1)若,a b b c,则a c(2)若,ab bc,则ac(3)若a ,b ,则a b(4)若a,b,则a b【答案】7（江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）已知,m 是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列四个命题:若l,且,则l;若l,且/,则l;若l,且,则/l;若m,且/lm,则/l.则所有正确命题的序号是_.【答案】8（扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）设ab、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题 若,ab a,则/b,若,a,则/a,若则,/aa 若,ab
4、ab,则,其中正确的命题序号是_.【答案】;9（常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题）给出下列命题:(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直;(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,所有真命题的序号为_.【答案】1、3、4 10（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013 届高三第二次调研考试数学试卷）若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1,则它的外接球的表面积是_.【答
5、案】6 11（连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知正方形 ABCD 的边长为2,E,F 分别为 BC,DC 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,则这个四面体的体积为_.【答案】13;12（连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=43r3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度 V=8r3,则其四维测度 W=_.【答案】2r4;13（南京市、盐城市 2013 届
6、高三年级第一次模拟考试数学试题）现有如下命题:过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直;过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行;如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.则所有真命题的序号是 .【答案】14（南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷）已知 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面.若 m,m,则;若 m,=n,则 mn;若 m,n,则 mn;若 m,m,=n,则 mn.上述命题中为真命题的是_(填写所有真命题的序号).【答案】15（南通市 2013 届高三第
7、一次调研测试数学试卷）已知正四棱锥的底面边长是 6,高为7,这个正四棱锥的侧面积是_.【答案】答案:48.考查常见几何体的表面积与体积的计算.应熟练掌握常见几何体的表面积的计算,灵活应用等体积法计算点面距 16（2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为,则22coscos1.类比到空间中一个正确命 题 是:在 长 方体1111ABCDA B C D中,对 角 线1AC 与 相 邻 三 个 面 所成 的 角 为,则有_.【答案】222coscoscos2 二、解答题 17（连云港市 2012-2013 学年度第
8、一学期高三期末考试数学试卷）【答案】以 O 点为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OS 为 z 轴建立空间直角坐标系.由题意知SBO=45,SO=3.O(0,0,0),C(0,3,0),A(0,3,0),S(0,0,3),B(3,0,0).(1)设 BD=BS(01),则 BD=(1)OB+OS=(3(1),0,3),所以CD=(3(1),3,3).因为 AB=(3,3,0),CDAB,所以CD AB=9(1)3=0,解得=23.A B O C D S x z y 故SDDB=12时,CDAB (2)平面 ACB 的法向量为 n1=(0,0,1),设平面 SBC 的法向量 n2=(x,
9、y,z),则3x3z=03y3z=0,解得x=zy=3z,取 n2=(1,3,1),所以 cos=22230 1 0 1 11511(3)1 ,又显然所求二面角的平面角为锐角,故所求二面角的余弦值的大小为55 18（苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）三棱柱111ABCA B C在如图所示的空间直角坐标系中,已知2AB,4AC,13AA.D 是 BC 的中点.(1)求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值;(2)求二面角111BA DC的大小的正弦值.【答案】1B 1C 1A y z B x A C D 19（2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情
10、况调研（二）数学试题）已知四棱锥SABCD的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAB 是等边三角形,侧面 SCD 是以CD 为斜边的直角三角形,E 为CD 的中点,M 为 SB 的中点.(1)求证:/CM平面 SAE;(2)求证:SE 平面 SAB;来源:学。科。网(3)求三棱锥 SAED的体积.EMSDCBA 【答案】20（南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷）如图,三棱锥 P-ABC 中,已知 PA平面 ABC,ABC 是边长为 2 的正三角形,D,E 分别为PB,PC 中点.(1)若 PA=2,求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值;(2)若平面 ADE平面
11、 PBC,求 PA 的长.来源:学|科|网 Z|X|X|K A BCB EDP（第 22 题）【答案】解(1)如图,取 AC 的中点 F,连接 BF,则 BFAC.以 A 为坐标原点 过 A 且与 FB 平行的直线为 x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系.则 A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),从而PB=(3,1,-2),AE=(0,1,1).设直线 AE 与 PB 所成角为,则 cos=|错误!|=错误!.即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为14 (2)设 PA 的长为 a,则 P(0,0,a),从而PB=(
12、3,1,-a),PC=(0,2,-a).设平面 PBC 的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1PB=0,n1PC=0,所以 3x+y-az=0,2y-az=0.令 z=2,则 y=a,x=33 a.所以 n1=(33 a,a,2)是平面 PBC 的一个法向量.因为 D,E 分别为 PB,PC 中点,所以 D(32,12,a2),E(0,1,a2),A BCEDP（第 22 题）y x z F 则AD=(32,12,a2),AE=(0,1,a2).设平面 ADE 的法向量为 n2=(x,y,z),则 n2AD=0,n2AE=0.所以 32 x+12y+a2z=0,y+a2z=0.令 z=2,
13、则 y=-a,x=-33 a.所以 n2=(-33 a,-a,2)是平面 ADE 的一个法向量 因为面 ADE面 PBC,所以 n1n2,即 n1n2=(33 a,a,2)(-33 a,-a,2)=-13a2-a2+4=0,解得 a=3,即 PA 的长为 3 21（扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,在四棱锥 PABCD中,PA 平面 ABCD,ACBD于O.()证明:平面 PBD 平面 PAC;来源:学|科|网 Z|X|X|K()设 E 为线段 PC 上一点,若 ACBE,求证:/PA平面 BED 来源:学科网 【答案】()证:因为 PA 平面 ABCD,B
14、D 平面 ABCD,PABD 又 ACBD,PA AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,BD 平面 PAC,而 BD 平面 PBD,所以平面 PBD 平面 PAC ()证:ACBE,ACBD,BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,AC 平面 BED,连接 EO,EO 平面 BED,ACEO,PA平面 ABCD,AC 平面 ABCD,ACPA,又,AC PA EO 共面,/EOPA,又PA 平面 BED,EO 平面 BED,/PA平面 BED 22（江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）如图,圆锥的高4PO,底面半径2OB,D 为 PO 的中点,E 为母线
15、PB 的中点,F 为底面圆周上一点,满足EFDE.(1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值;(2)求二面角ODFE的正弦值.【答案】O E D A F B P 23（连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1上,且 AC1=4AF.(1)求证:平面 ADF平面 BCC1B1;(2)求证:EF/平面 ABB1A1.A B C C1 A1 B1 F E D(第 16 题图)【答案】证明:(1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1平面 A
16、BC,而 AD平面 ABC,所以 CC1AD 又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 ADBC,因为 BCCC1=C,BC平面 BCC1B1,CC1平面 BCC1B1,所以 AD平面 BCC1B1,因为 AD平面 ADF,所以平面 ADF平面 BCC1B1 (2)连结 CF 延长交 AA1于点 G,连结 GB.因为 AC1=4AF,AA1/CC1,所以 CF=3FG,又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,所以 CE=3EB,所以 EF/GB,而 EF平面 ABBA1,GB 平面 ABBA1,所以 EF/平面 ABBA1 24（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届
17、高三第三次调研测试数学试卷）如图,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等.(1)求证:AB/平面 PCD;(2)求证:平面 PAC 平面 ABCD.A B C （第 15 题）P D O A B C C1 A1 B1 F E D G【答案】证明:(1)在矩形 ABCD中,/AB CD,又 AB 平面 PCD,CD 平面 PCD,所以 AB/平面 PCD (2)如图,连结 BD,交 AC 于点O,连结 PO,在矩形 ABCD中,点O 为 AC BD，的中点,又 PAPBPCPD,故 POAC,POBD,又 ACBDOI,AC BD，平面 ABCD,所以 PO 平面 AB
18、CD,又 PO 平面 PAC,所以平面 PAC 平面 ABCD 25（江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷）如图,四棱锥 P-A BCD 中,底面 ABCD为菱形,BD面 PAC,A C=10,PA=6,cosPCA=45,M 是 PC 的中点.()证明 PC平面 BMD;()若三棱锥 M-BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.【答案】来源:Zxxk.Com 26（扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷）必做题,本小题 10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在三棱柱111ABCABC中,1ABABC 平面,ABAC,且1
19、2ABACAB.(1)求棱1AA 与 BC 所成的角的大小;(2)在棱11BC 上确定一点 P,使二面角1PABA的平面角的余弦值为 2 55.【答案】【解】(1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则 112 0 00 2 00 2 20 4 2CBAB，,10 2 2AA，,1122 0BCBC，.11141cos288AA BCAABCAABC ，,故1AA 与棱 BC 所成的角是 3 (2)P 为棱11BC 中点,设111220B PBC，,则 2422P，.设平面 PAB 的法向量为 n1,x y z,=2422AP，,则1103202000APxyzzxyyAB，nn B A
20、C A1 B1 C1 z x y P（第 22 题）B A C A1 B1 C1 故 n1 1 0，而平面1ABA 的法向量是 n2=(1,0,0),则121221212 5cos,51 n nn nnn,解得12,即 P 为棱11BC 中点,其坐标为1 3 2P，27（南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AD/BC,PB 平面 ABCD,CD BD,PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA.(1)求三棱锥 E-BAD 的体积;(2)求证:PC/平面 BDE.【答案】28（江苏省泰州市
21、2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题）在三棱锥 S-ABC 中,SA平面 ABC,SA=AB=AC=33 BC,点 D 是 BC 边的中点,点 E 是线段 AD 上一点,且 AE=4DE,点M 是线段 SD 上一点,(1)求证:BC AM(2)若 AM 平面 SBC,求证:EM 平面 ABS 【答案】(1)AB=AC,D 是 BC 的中点,ADBC,AMBCSADAMSADBCASAADBCSAABCBCABCSA面平面面面 (证到 SA平面 SAD 得 5 分)(2)AM 面 SAB,AM SD,DEAEMDSM44平面平面SAABS/MESAMEEM面 ABS (证到 S
22、M=4MD 得 10 分,得到 MESA 得 12 分.)29（徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷）如图,AB,CD 均为圆O 的直径,CE 圆O 所在的平面,BFCE.求证:平面 BCEF 平面 ACE;直线 DF平面 ACE.A B C D O E F（第 15 题图）【答案】因为CE 圆O 所在的平面,BC 圆O 所在的平面,所以CEBC,因为 AB为圆O 的直径,点C 在圆O 上,所以 ACBC,因为 ACCEC,AC CE 平面 ACE,所以 BC 平面 ACE,因为 BC 平面 BCEF,所以平面 BCEF 平面 ACE 由 ACBC,又因为CD 为圆O 的直
23、径,所以 BDBC,因为,AC BC BD 在同一平面内,所以 ACBD,因为 BD 平面 ACE,AC 平面 ACE,所以 BD平面 ACE 因为 BFCE,同理可证 BF平面 ACE,因为 BDBFB,BD BF 平面 BDF,所以平面 BDF平面 ACE,因为 DF 平面 BDF,所以 DF平面 ACE 30（扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷）如图,在四棱锥PABCD中,平面 PAB 平面 ABCD,BC/平面 PAD,PBC90,90PBA.求证:(1)/AD平面 PBC;(2)平面 PBC 平面 PAB.来源:学&科&网 【答案】【证】(1)因为 B
24、C/平面 PAD,而 BC平面 ABCD,平面 ABCDI 平面 PAD=AD,所以 BC/AD 因为 AD 平面 PBC,BC平面 PBC,所以/AD平面 PBC A B C P（第 16 题）D(2)自P作PH AB于H,因为平面 PAB 平面 ABCD,且平面 PAB I 平面 ABCD=AB,所以 PH 平面 ABCD 因为 BC平面 ABCD,所以 BC PH.因为PBC90,所以 BC PB,而90PBA,于是点 H 与 B 不重合,即 PBI PH=H.因为 PB,PH平面 PAB,所以 BC 平面 PAB 因为 BC平面 PBC,故平面 PBC 平面 AB 31（徐州、宿迁市
25、2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【必做题】本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在正三棱柱111ABCA BC中,已知16AA,2AB,M N 分别是棱1BB,1CC 上的点,且4BM,2CN.求异面直线 AM 与11AC 所成角的余弦值;求二面角1MANA的正弦值.【答案】以 AC 的中点为原点O,分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图).则(0,0,0)O,(1,0,0)A,(1,0,0)C,(0,0,3)B,(1,2,0)N,(0,4,3)M,1(1,6,0)A,（第 25 题图）A B C A1 B1 C1
26、M N x y z O（第 22 题图）A B C A1 B1 C1 M N A B C P D H 1(1,6,0)C.所以(1,4,3)AM ,11(2,0,0)AC .所以11111125cos,102 20AM ACAM ACAM AC,所以异面直线 AM 与11AC 所成角的余弦值为510 平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)m.设平面 AMN 的法向量为(,)x y zn,因为(1,4,3)AM ,(2,2,0)AN ,由,AMAN nn得430,220,xyzxy+令1x ,则(1,1,3)n.所以315cos,55 m nm nm n,所以二面角1MANA的正弦值为105
27、 32（常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题）如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD底面ABCD,ADAB,CDAB,22ABAD,3CD,直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60,点 M、N 分别是 PA,PB 的中点.(1)求证:MN平面 PCD;(2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形;(3)求证:DN 平面 PCB.【答案】证明:(1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MNAB 因为 CDAB,所以 MNCD.又 CD 平面 PCD,MN 平面 PCD,所以 MN平面 PCD (2)因为 ADAB,CDAB,所以 CDAD,又因为 PD底面 ABCD,C
28、D 平面 ABCD,所以 CDPD,又 ADPDD,所以 CD平面 PAD 因为 MD 平面 PAD,所以 CDMD,所以四边形 MNCD 是直角梯形 (3)因为 PD底面 ABCD,所以PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,从而PAD=60 在 Rt PDA中,2AD,6PD,2 2PA,2MD.在直角梯形 MNCD 中,1MN ,3ND,3CD,22()6CNMDCDMN,从而222DNCNCD,所以 DNCN 在 Rt PDB 中,PD=DB=6,N 是 PB 的中点,则 DNPB 又因为 PBCNN,所以 DN 平面 PCB 33（南京市、盐城市 2013 届高三第三次模
29、拟考试数学试卷）如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,A1A=2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中点.(1)证明:EF平面 ABC;(2)证明:C1E平面 BDE.【答案】证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG.A B C D E C1 A1 B1 F（第 16 题）因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG 12C1C.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,A1A C1C,且 E 为 A1A 的中点,所以 FG EA.所以四边形 AEFG 是平行四边形.所以 EFAG 因为 EF平面 ABC,AG平面 ABC,所以 EF平面 ABC (2)因为在正三棱柱
30、ABC-A1B1C1中,A1A平面 ABC,BD平面 ABC,所以 A1ABD.因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BDAC.因为 A1AAC=A,A1A平面 A1ACC1,AC平面 A1ACC1,所以 BD平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1,所以 BDC1E 根据题意,可得 EB=C1E=62 AB,C1B=3AB,所以 EB2+C1E2=C1B2.从而C1EB=90,即 C1EEB 因为 BDEB=B,BD 平面 BDE,EB平面 BDE,所以 C1E平面 BDE 34（南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷）如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,E
31、是侧面AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证:(1)/EF平面 ABC;(2)平面 AEF平面 A1AD.（第 16 题）A B C D E C1 A1 B1 F G 【答案】解:(1)连结11A BAC和.因为 EF、分别是侧面11AA B B 和侧面11AAC C 的对角线的交点,所以 EF、分别是11A BAC和的中点.所以/EFBC 又 BC 平面 ABC 中,EF 平面 ABC 中,故/EF平面 ABC (2)因为三棱柱111ABCA B C为正三棱柱,所以1A A 平面 ABC,所以1BCA A.故由/EFBC,得1EFA
32、A 又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ABC为正三角形,所以 BCAD.故由/EFBC,得 EFAD 来源:Zxxk.Com 而1A AADA,1,A A AD 平面1A AD,所以 EF 平面1A AD 又 EF 平面 AEF,故平面 AEF 平面1A AD 本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲评时应注意强调规范化的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等.35（苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在三棱锥 PABC中,BC 平面 PAB.已知 PAAB,点 D,E 分别为PB,BC 的中点.(1)求证
33、:AD 平面 PBC;(2)若 F 在线段 AC 上,满足/AD平面 PEF,求 AFFC的值.A B C D E F A1 B1 C1(第 15 题)A B C D E F A1 B1 C1(第 15 题)APBCDEF【答案】36（南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题）在直三棱柱111CBAABC 中,ABBC,D 为棱1CC 上任一点.(1)求证:直线11A B 平面 ABD;(2)求证:平面 ABD 平面11BCC B.【答案】(1)证明:由直三棱柱111CBAABC,得11/A BAB 而,EFABD ABABD面面,所以直线 EF 平面 ABD (2)因为三棱
34、柱111CBAABC 为直三棱柱,所以1ABBB,又 ABBC,而1BB 面11BCC B,BC 面11BCC B,且1BBBCB,所以 AB 面11BCC B 又 ABABD 面,所以平面 ABD 平面11BCC B 37（江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷）正三棱柱111CBAABC 的所有棱长都为 4,D 为的1CC 中点.(1)求证:1AB 平面BDA1;(2)求二面角BDAA1的余弦值.【答案】解:取 BC 中点 O,连 AO,ABC为正三角形,BCAO,在正三棱柱111CBAABC 中,平面 ABC 平面11BBCC,AD平面11BBCC,取11CB中点为1O
35、,以 O 为原点,OB,1OO,OA 的方向为,x y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则)0,4,2(),32,0,0(),32,4,0(),0.2,2(),0,0,2(11BAADB.)32,4,2(),0,2,4(),32,4,2(11BABDAB,00881 BDAB,01216411 BAAB.BDAB 1,11BAAB,1AB面BDA1 (2)设平面ADA1的法向量为),(zyxn,)0,4,0(),32,2,2(1 AAAD.1,AAnADn,001AAnADn,0403222yzyx,zxy30,令1z,得)1,0,3(n为平面ADA1的一个法向量,由(1)知1AB面BDA
36、1,1AB 为平面ADA1的法向量,462423232,cos111ABnABnABn,二面角BDAA1的余弦值为46 38（江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）如图,在三棱柱111A B CABC中,已 知 E,F,G 分 别 为 棱 AB,AC,11AC的 中点,090ACB,1A F 平面 ABC,CHBG,H 为垂足.求证:(1)1/A E平面GBC;(2)BG 平面 ACH.C1B1BHEFGCAA1【答案】39（扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）在四棱锥 PABCD中,侧面PCD 底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯
37、形,/ABCD,2ADC,1ABADPD,2CD.设 Q 为 侧 棱 PC 上 一点,PQPC,试确定 的值,使得二面角QBDP为 45.【答案】解:因为侧面 PCD 底面 ABCD,平面 PCD平面 ABCDCD,PDCD,所以 PD 平面 ABCD,所以 PD AD,即三直线,DA DC DP 两两互相垂直.来源:学_科_网 如图,以 D 为坐标原点,DA DC DP 分别为,x y z 轴建立直角坐标系,则平面 PBD 的一个法向量为(1,1,0)n,(0,2,1),(0,1)PCPQPC,所以 (0,2,1)Q,设 平 面 QBD 的 一 个 法 向 量 为(,)a b cm,由0BD
38、m,0DQm,得 02(1)0abbc,所以2(1,1,)1 m 所以|cos45|m nmn,即2222222()1 注意到(0,1),解得21 40（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013 届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在四棱柱1111DCBAABCD 中,已知平面CCAA11平面,ABCD 且3CABCAB,1 CDAD.(1)求证:;1AABD (2)若 E 为棱 BC 的中点,求证:/AE平面11DDCC.【答案】在四边形 ABCD 中,因为 BABC,DADC,所以 BDAC,又平面11AAC C 平面 ABCD,且平面11AAC C平面 ABCDAC,BD平面 ABCD,所以
39、 BD 平面11AAC C,又因为1AA 平面11AAC C,所以1BDAA 在三角形 ABC 中,因为 ABAC,且 E 为 BC 中点,所以BCAE,又因为在四边形 ABCD 中,3ABBCCA,1DADC,所以60ACB,30ACD,所以BCDC,所以 AEDC,因为 DC 平面11DDCC,AE 平面11DDCC,所以 AE平面11DDCC 41（江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点.求证:PA平面 BDE;求证:平面 PBC平面 PDC.【答案】证明(1)连接 AC 交 BD 于O,连接POEO,四边形 ABCD 是菱形,O 是 AC 中点,又 E 为 PC 中点.PA EO 又BDEEO面,BDEPA面 PA平面 BDE 1A E C D B A 1D 1B 1C 第 16 题(2)在 PAC 中,易得3POCOAO90APC,22PC 在 PDC 中可求得2DE,同理在 PBC 中可求得2BE 在 BDE 中可得90BED,即 BE DE 又BCPB,E 为 PC 中点,BE PC BE 面 PDC,又BE面 PBC 平面PBC平面 PDC
