1、3.1.1 椭圆及其标准方程1椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2) 椭圆定义的集合表示P=,2a.2椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:3椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义,确定的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程如果明确了椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的椭圆一定是标准形式,就可以利用待定系数法求解.首先建立方程,然后依据题设条件,计算出方程中的a,b的值,从而确定方程(注意焦点的位置).如
2、果不能确定椭圆的焦点的位置,那么可用以下两种方法来解决问题:一是分类讨论,分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程,再解答;二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A0,B0,AB),再解答.4椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点,,为椭圆的焦点,当点M,不在同一条直线上时,它们构成一个三角形焦点三角形,如图所示.(2)焦点三角形的常用公式焦点三角形的周长L=2a+2c.在中,由余弦定理可得.设,则.题型一 椭圆的定义【例1】(1)(甘肃)设是椭圆:上一点,分别是的左、右焦点,则( )A5BC4D(2)(湖南)椭圆上一点到焦点的距离为2,是的中点,则
3、 等于( )A2B4C6D1.5(3)(西藏拉萨市拉萨中学高二月考(文)已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为( )A13B12C9D6【题型专练】1(宁夏吴忠中学高二月考(文)平面内有两个定点和一动点,设命题甲:是定值,命题乙:点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2(山西省长治市第二中学校)已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3,则点到另一个焦点的距离为( )A9B7C5D33(六安市裕安区新安中学)已知P椭圆上的动点,则P到该椭圆两焦点的距离之和为( )AB4CD84(海原县第一中学)若椭圆上一点P到一个焦点的距离
4、为3,则P到另一个焦点的距离为()A2B5C7D225(乾安县第七中学)已知A为椭圆上一点,F为椭圆一焦点,的中点为,为坐标原点,若则( )ABCD6(广西浦北中学)下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点,则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆;已知定点F1(2,0),F2(2,0),则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段;到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.题型二 椭圆定义的应用【例2】(1)(四川泸县五中)已知点是椭圆:上第一象限的一点,分别是圆和上的点,则的最小值为( )A6B7C8D9(2)(人教A版选择性必修第一册)已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦
5、点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为( )ABCD(3)(广西)已知是椭圆上一点, 为椭圆的两焦点,且,则面积为ABCD【题型专练】1(静宁县第一中学)已知为椭圆上的一个点,点M,N分别为圆和圆上的动点,则的最小值为( )A6B7C10D132(山西省长治市第二中学校)椭圆的焦点为,椭圆上的点满足,则点到轴的距离为( )ABCD3(安徽)点,为椭圆:的两个焦点,点为椭圆内部的动点,则周长的取值范围为( )ABCD4(湖南)已知椭圆C:的左右焦点分别是,过的直线与椭圆C交于A,B两点,且,则( )A4B6C8D105(黄梅国际育才高级中学高二月考)设是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,若
6、,则的大小_.题型三 椭圆的标准方程【例3】(1)(专题2.1圆锥曲线-2020-2021学年高二数学课时同步练(苏教版选修2-1)椭圆的焦点坐标为(5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )A1B+1C+1D+1(2)(安徽高二期末(理)在中,已知, 且的周长为16,则顶点的轨迹方程是( )ABCD【题型专练】1(黄冈天有高级中学高二月考)到点和的距离之和为的点的轨迹方程为( )ABCD2(镇远县文德民族中学校高二月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在轴上,中心为坐标原点,经过点,.(2)以点,为焦点,经过点.3(科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学
7、高二开学考试(理)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1),焦点在y轴上;(2)与椭圆有相同的焦点,且经过点(3)经过两点题型四 轨迹方程【例4】(1)(伊宁市第三中学高二期末(理)如果点在运动过程中,总满足关系式,则点的轨迹是( )A不存在B椭圆C线段D双曲线(2)(陕西高二期末(文)已知ABC的周长为10,且顶点,则顶点的轨迹方程是( )ABCD【题型专练】1(平面内有一长度为4的线段,动点P满足,则的取值范围是( )ABCD2(浙江高二期末)已知动点满足(为大于零的常数)则动点的轨迹是( )A线段B圆C椭圆D双曲线3(陕西高二期末(文)已知点,动点P满足,则点P的轨迹为( )A椭圆B双曲线
8、C抛物线D圆4(多选)(江苏高二期末)在平面直角坐标系中,下列方程表示的曲线是椭圆的有( )ABCD3.1.1 椭圆及其标准方程题型一 椭圆的定义【例1】(1)(甘肃)设是椭圆:上一点,分别是的左、右焦点,则( )A5BC4D(2)(湖南)椭圆上一点到焦点的距离为2,是的中点,则 等于( )A2B4C6D1.5(3)(西藏拉萨市拉萨中学高二月考(文)已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为( )A13B12C9D6【答案】(1)A(2)B(3)C【解析】(1)依题意得椭圆:焦点在轴,且,因为,所以,即,又,所以,故选:A(2)设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义,故,中, 是的中点,是的中点,
9、故 是中位线,.故选:B.(3)由题,则,所以(当且仅当时,等号成立)故选:C【题型专练】1(宁夏吴忠中学高二月考(文)平面内有两个定点和一动点,设命题甲:是定值,命题乙:点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆,则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ,且为常数)成立是定值若动点到两定点的距离之和 ,且为常数),当,此时的轨迹不是椭圆甲是乙的必要不充分条件故选:2(山西省长治市第二中学校)已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3,则点到另一个焦点的距离为( )A9B7C5D3【答案】
10、A【解析】由椭圆定义知,点P到另一个焦点的距离为26-3=9.故选:A3(六安市裕安区新安中学)已知P椭圆上的动点,则P到该椭圆两焦点的距离之和为( )AB4CD8【答案】D【解析】根据椭圆方程可得,所以P到该椭圆两焦点的距离之和为.故选:D.4(海原县第一中学)若椭圆上一点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为()A2B5C7D22【答案】C【解析】设椭圆的左右焦点分别为,因为椭圆上一点P到一个焦点的距离为3,不妨设,由椭圆的定义,可得,解得.故选:C.5(乾安县第七中学)已知A为椭圆上一点,F为椭圆一焦点,的中点为,为坐标原点,若则( )ABCD【答案】B【解析】不妨设椭圆左焦点
11、为,右焦点为,因为的中点为,的中点为,所以,又由,可得.故选:B.6(广西浦北中学)下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点,则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆;已知定点F1(2,0),F2(2,0),则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段;到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.【答案】【解析】中,因为,可得,因为,所以点的轨迹不存在;中,因为,所以点P的轨迹是线段;中,由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线,即.故答案为:题型二 椭圆定义的应用【例2】(1)(四川泸县五中)已知点是椭圆:上第一象限的一点,分别是圆和上的点,则的最小值为( )A6B7C8D9
12、(2)(人教A版选择性必修第一册)已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为( )ABCD(3)(广西)已知是椭圆上一点, 为椭圆的两焦点,且,则面积为ABCD【答案】(1)B(2)D(3)A【解析】(1)点是椭圆:上第一象限的一点,则点在两圆的外部,由题可得两圆圆心坐标是,恰是椭圆的两个焦点,设,两圆的半径为2,1,所以.故选:B(2)由椭圆方程知:,又,的周长为,故选:D.(3)由椭圆的标准方程可得:a5,b3,c4,设|PF1|t1,|PF2|t2,所以根据椭圆的定义可得:t1+t210,在F1PF2中,F1PF260,所以根据余弦定理可得:|PF1
13、|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2(2c)264,整理可得:t12+t22t1t264,把两边平方得t12+t22+2t1t2100,所以得t1t212,F1PF23故选A【题型专练】1(静宁县第一中学)已知为椭圆上的一个点,点M,N分别为圆和圆上的动点,则的最小值为( )A6B7C10D13【答案】B【解析】依题意可知,椭圆的焦点分别是两圆和的圆心,根据定义,两圆半径为,故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M,N时, 最小,最小值为.故选:B.2(山西省长治市第二中学校)椭圆的焦点为,椭圆上的点满足,则点到轴的距离为( )ABCD【答案】C【解析】由椭圆方程得,所以
14、.设,则由椭圆定义得.在中,由余弦定理得,所以,则,所以,设点到轴的距离为,则,故,解得.故选:C.3(安徽)点,为椭圆:的两个焦点,点为椭圆内部的动点,则周长的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】由椭圆:,得:,当点在椭圆上时,周长最大,为,当点在轴上时,去最小值,为,又因点为椭圆内部的动点,所以周长的取值范围为.故选:C.4(湖南)已知椭圆C:的左右焦点分别是,过的直线与椭圆C交于A,B两点,且,则( )A4B6C8D10【答案】A【解析】由椭圆知:a=3,由椭圆的定义得:,所以,又因为,所以,故选:A5(黄梅国际育才高级中学高二月考)设是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,若,则的
15、大小_.【答案】【解析】椭圆,可得,设,可得,化简可得:,故答案为题型三 椭圆的标准方程【例3】(1)(专题2.1圆锥曲线-2020-2021学年高二数学课时同步练(苏教版选修2-1)椭圆的焦点坐标为(5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )A1B+1C+1D+1(2)(安徽高二期末(理)在中,已知, 且的周长为16,则顶点的轨迹方程是( )ABCD【答案】(1)A(2)C【解析】(1)椭圆的焦点坐标为(5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,椭圆的焦点在x轴上,c5,a13,12,椭圆的方程为1故选:A(2)由条件可知,点是以为焦点的椭圆,
16、除去左右顶点,并且,顶点的轨迹方程是 .故选:C【题型专练】1(黄冈天有高级中学高二月考)到点和的距离之和为的点的轨迹方程为( )ABCD【答案】A【解析】因为和两点间的距离,所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点,长轴长为的椭圆,所以,即,所以,所以所求动点的轨迹方程为,故选:A.2(镇远县文德民族中学校高二月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在轴上,中心为坐标原点,经过点,.(2)以点,为焦点,经过点.【答案】(1);(2).【解析】(1)设椭圆的标准方程为,由题意有,可得,故椭圆的标准方程为.(2)设椭圆的标准方程为,焦距为.由题意有,有,故椭圆的标准方程为.3(科尔沁左翼
17、后旗甘旗卡第二高级中学高二开学考试(理)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1),焦点在y轴上;(2)与椭圆有相同的焦点,且经过点(3)经过两点【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)由,得,焦点在y轴上,其标准方程为.(2)椭圆的焦点坐标为,椭圆过点,椭圆的标准方程为.(3)设所求的椭圆方程为.把两点代入,得:,解得,椭圆方程为.题型四 轨迹方程【例4】(1)(伊宁市第三中学高二期末(理)如果点在运动过程中,总满足关系式,则点的轨迹是( )A不存在B椭圆C线段D双曲线(2)(陕西高二期末(文)已知ABC的周长为10,且顶点,则顶点的轨迹方程是( )ABCD【答案】(1)B(2)A【解析】
18、(1)表示平面由点到点的距离之和为,而,所以点的轨迹是椭圆,故选:B(2)ABC的周长为10,顶点,点A到两个定点的距离之和等于定值,点A的轨迹是椭圆,又因为三点构成三角形, 椭圆的方程是.故选:A【题型专练】1平面内有一长度为4的线段,动点P满足,则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点,长轴长为6的椭圆上,则可得的最小值为,最大值为,的取值范围是.故选:A.2(浙江高二期末)已知动点满足(为大于零的常数)则动点的轨迹是( )A线段B圆C椭圆D双曲线【答案】C【解析】的几何意义为点与点间的距离,同理的几何意义为点与点间的距离,且又由为大于零的常数,可知,当且仅当,
19、即时取等,故,即动点到点与到点的距离之和为定值,且大于,所以动点的轨迹为椭圆,故选:C.3(陕西高二期末(文)已知点,动点P满足,则点P的轨迹为( )A椭圆B双曲线C抛物线D圆【答案】A【解析】 ,故,又,根据椭圆的定义可知:P的轨迹为椭圆.故选:A.4(多选)(江苏高二期末)在平面直角坐标系中,下列方程表示的曲线是椭圆的有( )ABCD【答案】BC【解析】A选项,表示动点到定点和的距离等于,即,所以点的轨迹是线段,故A错;B选项,表示动点到定点和的距离等于,即,满足椭圆定义,所以表示焦点在轴上,焦距为,长轴长为的椭圆,故B正确;C选项,由可得,整理得显然表示椭圆,故C正确;D选项,由可得,则,显然不表示椭圆,故D错.故选:BC