1、3.1.1 椭圆及其标准方程1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2) 椭圆定义的集合表示P=,2a.2椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.如
2、果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A0,B0,AB)，再解答.4椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式焦点三角形的周长L=2a+2c.在中，由余弦定理可得.设，则.题型一 椭圆的定义【例1】（1）（甘肃）设是椭圆：上一点，分别是的左、右焦点，则（ ）A5BC4D（2）（湖南）椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则
3、 等于（ ）A2B4C6D1.5（3）（西藏拉萨市拉萨中学高二月考（文）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A13B12C9D6【题型专练】1（宁夏吴忠中学高二月考（文）平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（山西省长治市第二中学校）已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（ ）A9B7C5D33（六安市裕安区新安中学）已知P椭圆上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为（ ）AB4CD84（海原县第一中学）若椭圆上一点P到一个焦点的距离
4、为3，则P到另一个焦点的距离为（）A2B5C7D225（乾安县第七中学）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）ABCD6（广西浦北中学）下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.题型二 椭圆定义的应用【例2】（1）（四川泸县五中）已知点是椭圆:上第一象限的一点，分别是圆和上的点，则的最小值为（ ）A6B7C8D9（2）（人教A版选择性必修第一册）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦
5、点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为（ ）ABCD（3）（广西）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为ABCD【题型专练】1（静宁县第一中学）已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（ ）A6B7C10D132（山西省长治市第二中学校）椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）ABCD3（安徽）点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）ABCD4（湖南）已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ）A4B6C8D105（黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若
6、，则的大小_.题型三 椭圆的标准方程【例3】(1)（专题2.1圆锥曲线-2020-2021学年高二数学课时同步练（苏教版选修2-1）椭圆的焦点坐标为(5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）A1B+1C+1D+1（2）（安徽高二期末（理）在中，已知， 且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（ ）ABCD【题型专练】1（黄冈天有高级中学高二月考）到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ）ABCD2（镇远县文德民族中学校高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.（2）以点，为焦点，经过点.3（科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学
7、高二开学考试（理）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），焦点在y轴上；（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点（3）经过两点题型四 轨迹方程【例4】（1）（伊宁市第三中学高二期末（理）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）A不存在B椭圆C线段D双曲线（2）（陕西高二期末（文）已知ABC的周长为10，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）ABCD【题型专练】1（平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ）ABCD2（浙江高二期末）已知动点满足(为大于零的常数)则动点的轨迹是（ ）A线段B圆C椭圆D双曲线3（陕西高二期末（文）已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）A椭圆B双曲线
8、C抛物线D圆4（多选）（江苏高二期末）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）ABCD3.1.1 椭圆及其标准方程题型一 椭圆的定义【例1】（1）（甘肃）设是椭圆：上一点，分别是的左、右焦点，则（ ）A5BC4D（2）（湖南）椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则 等于（ ）A2B4C6D1.5（3）（西藏拉萨市拉萨中学高二月考（文）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A13B12C9D6【答案】（1）A（2）B（3）C【解析】（1）依题意得椭圆：焦点在轴，且，因为，所以，即，又，所以，故选：A（2）设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，中, 是的中点，是的中点，
9、故 是中位线，.故选：B.（3）由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）故选：C【题型专练】1（宁夏吴忠中学高二月考（文）平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数）成立是定值若动点到两定点的距离之和 ，且为常数），当，此时的轨迹不是椭圆甲是乙的必要不充分条件故选：2（山西省长治市第二中学校）已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（ ）A9B7C5D3【答案】
10、A【解析】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为26-3=9.故选：A3（六安市裕安区新安中学）已知P椭圆上的动点，则P到该椭圆两焦点的距离之和为（ ）AB4CD8【答案】D【解析】根据椭圆方程可得，所以P到该椭圆两焦点的距离之和为.故选：D.4（海原县第一中学）若椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（）A2B5C7D22【答案】C【解析】设椭圆的左右焦点分别为，因为椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，不妨设，由椭圆的定义，可得，解得.故选：C.5（乾安县第七中学）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）ABCD【答案】B【解析】不妨设椭圆左焦点
11、为，右焦点为，因为的中点为，的中点为，所以，又由，可得.故选：B.6（广西浦北中学）下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.【答案】【解析】中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在；中，因为，所以点P的轨迹是线段；中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即.故答案为：题型二 椭圆定义的应用【例2】（1）（四川泸县五中）已知点是椭圆:上第一象限的一点，分别是圆和上的点，则的最小值为（ ）A6B7C8D9
12、（2）（人教A版选择性必修第一册）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为（ ）ABCD（3）（广西）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为ABCD【答案】（1）B（2）D（3）A【解析】（1）点是椭圆:上第一象限的一点，则点在两圆的外部，由题可得两圆圆心坐标是，恰是椭圆的两个焦点，设，两圆的半径为2，1，所以.故选：B（2）由椭圆方程知：，又，的周长为，故选：D.（3）由椭圆的标准方程可得：a5，b3，c4，设|PF1|t1，|PF2|t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t210，在F1PF2中，F1PF260，所以根据余弦定理可得：|PF1
13、|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2（2c）264，整理可得：t12+t22t1t264，把两边平方得t12+t22+2t1t2100，所以得t1t212，F1PF23故选A【题型专练】1（静宁县第一中学）已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（ ）A6B7C10D13【答案】B【解析】依题意可知，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，根据定义，两圆半径为，故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M，N时， 最小，最小值为.故选：B.2（山西省长治市第二中学校）椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）ABCD【答案】C【解析】由椭圆方程得，所以
14、.设，则由椭圆定义得.在中，由余弦定理得，所以，则，所以，设点到轴的距离为，则，故，解得.故选：C.3（安徽）点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由椭圆：，得：，当点在椭圆上时，周长最大，为，当点在轴上时，去最小值，为，又因点为椭圆内部的动点，所以周长的取值范围为.故选：C.4（湖南）已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ）A4B6C8D10【答案】A【解析】由椭圆知：a=3，由椭圆的定义得：，所以，又因为，所以，故选：A5（黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的
15、大小_.【答案】【解析】椭圆，可得，设，可得，化简可得：，故答案为题型三 椭圆的标准方程【例3】(1)（专题2.1圆锥曲线-2020-2021学年高二数学课时同步练（苏教版选修2-1）椭圆的焦点坐标为(5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）A1B+1C+1D+1（2）（安徽高二期末（理）在中，已知， 且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】(1）A（2）C【解析】（1）椭圆的焦点坐标为(5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，椭圆的焦点在x轴上，c5，a13，12，椭圆的方程为1故选：A（2）由条件可知，点是以为焦点的椭圆，
16、除去左右顶点，并且，顶点的轨迹方程是 .故选：C【题型专练】1（黄冈天有高级中学高二月考）到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为和两点间的距离，所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，所以，即，所以，所以所求动点的轨迹方程为，故选：A.2（镇远县文德民族中学校高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.（2）以点，为焦点，经过点.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意有，可得，故椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的标准方程为，焦距为.由题意有，有，故椭圆的标准方程为.3（科尔沁左翼
17、后旗甘旗卡第二高级中学高二开学考试（理）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），焦点在y轴上；（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点（3）经过两点【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由，得，焦点在y轴上，其标准方程为.（2）椭圆的焦点坐标为，椭圆过点，椭圆的标准方程为.（3）设所求的椭圆方程为.把两点代入，得：，解得，椭圆方程为.题型四 轨迹方程【例4】（1）（伊宁市第三中学高二期末（理）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）A不存在B椭圆C线段D双曲线（2）（陕西高二期末（文）已知ABC的周长为10，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】（1）B（2）A【解析】
18、（1）表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B（2）ABC的周长为10，顶点，点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，又因为三点构成三角形， 椭圆的方程是.故选：A【题型专练】1平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，则可得的最小值为，最大值为，的取值范围是.故选：A.2（浙江高二期末）已知动点满足(为大于零的常数)则动点的轨迹是（ ）A线段B圆C椭圆D双曲线【答案】C【解析】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，
19、即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.3（陕西高二期末（文）已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）A椭圆B双曲线C抛物线D圆【答案】A【解析】 ，故，又，根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.故选：A.4（多选）（江苏高二期末）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）ABCD【答案】BC【解析】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.故选：BC