1、2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学理科试卷 2016.1一 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是_2方程的解是_ 3设，则数列的各项和为_4函数的最小值为_5若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为_6若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为_7若，且，则的最小值是_8若三条直线和相交于一点，则行列式的值为_9展开后各项系数的和等于_10已知四面体的外接球球心在棱上，则、两点在四面体的外接球上的球面距离是_11已知函数的定义域为，值域为，则这样的集合最多有 _个12正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3
2、把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为_13设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则=_ 14 已知O是锐角的外心，若则实数_二 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是-（ ）A 向量与垂直 B 向量与垂直 C 向量与垂直 D 向量与平行16设为实数，则“”是“”的-（ ）A 充分不必要条件 B必要不充分条件C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件17设、均是实数，是虚数单位，复数的实部大于，虚部不小于，则复数在复平面上的点集用阴影表示为下图中的-（ ）18设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称
3、点为函数图像的对称中心研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为-（ ）A B C D 三 解答题：（本大题共5题，满分74分）19（本题满分12分）在三棱锥中，且 .求证并求三棱锥的体积20（本题满分14分；第（1）小题分，第（2）小题分）已知实数满足且（1）求实数的取值范围；（2）求的最大值和最小值，并求此时的值21（本题满分14分；第（1）小题分，第（2）小题分）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一
4、点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、.设（弧度），排污管道的总长度为km（1） 将表示为的函数；（2） 试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）22（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（2）小题7分）给定数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即；（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的（2）若是数列的前项和，且对任意有其中为实数，且设证明数列是等比数列；若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）已知直线
5、、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形（1） 若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；（2） 若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；（3） 求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准 2016.1三 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 3 45 6 716 80 928 10 119 12 13 14二选择题：（本题满分20分，每小题5分）15A1617A18四 解答题：（本大题共5题，满分74分）19（本题满分12分）解：因为，,所以平面,所以.又.所以平面
6、.故.-6分在中，,所以.-8分又在中，,所以.-10分又因为平面,所以.-12分20（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设，则上式化为，即，-6分（2）因为，-10分当，即时，-12分当或，即或时，-14分21（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）由已知得，即（其中）-6分（2）记，则，则有，解得或-10分由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为km处,取得最小值（km）-14分22（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（2）小题7分）解：（1）-3分（2）当时，所以-4分当时，两式相减得所以 又所以，数列是以为首项、为
7、公比的等比数列.-9分由知： ；又，由于所以由推得所以对任意的正整数恒成立.-13分因为所以-14分由，得，但且，所以解得，所以-16分23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圆心到直线的距离为，同理，-4分（2）由题知，直线关于原点对称，因为圆的圆心为原点，所以，故四边形为平行四边形.易知，点在对角线上.联立解得，由得，所以，于是，因为，所以四边形为正方形.-9分（3） 证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为.当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，因为在椭圆上，所以，由四边形为正方形，易知，直线、的方程为，正方形的面积.-12分当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为，显然.设，联立得，所以代人，得，同理可得，因为为正方形，所以解得因为，所以，因此，直线与直线关于原点对称，所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形）由为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形为菱形）由为正方形知，因为直线与直线的距离为，故但，由得即，与矛盾.所以，这与矛盾.即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形.综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为.-18分
