1、4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、概念形成1.下表表示的是某实验数据，现准备用某个函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )t2.014.989.9915.1201000.30.71.011.171.32.02A.B.C.D.2.三个变量，随着变量x的变化情况如下表：x1357911513562517153645665552924521891968517714956.106.616.957.207.40则关于x呈对数型函数、指数型函数、幂函数变化的变量依次是( )A.，B.，C.，D.，3.下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最
2、可能的函数模型是( )x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型4.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )A.B.C.D.5.下列函数增长速度最快的是( )A.B.C.D.二、能力提升6.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )A.B.C.D.7.我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木
3、棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前天的一半.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为( )A.B.C.D.8.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85的水泡制，等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是( )A.B.C.（，且）D.（，）9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台，第二个月销售了200
4、台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是( )A.B.C.D. 10.已知函数，在区间上一定存在，当时( )A.B.C.D.11.某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收人为400万元，占全年经营总收入的，该公司预计2021年经营总收入要达到1690万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同,则2020年预计经营总收入为_万元.12.某百货公司采用分期付款的方式销售家用空调机，售价为15000元，分6个月付清，每月付一次，月利率以单利计算，则购买者每月应付_元.（不满1元的舍去）1
5、3.某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为_.(注：利润率=(销售价格-成本）)成本)14.某纪念章从2019年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x（天）41036市场价y（元）905190（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：；（，且）.（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.15.某公司为了实现年销售利润1000万元的目标，准备制
6、定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%现有三个奖励模型:，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据:，)答案以及解析1.答案：A解析：本题考查函数模型的选择.作出散点图，如下图，可知该函数单调递增，符合对数函数图象性质，经数值验证，符合A选项的函数关系.2.答案：C解析：从题中表格可以看出，三个变量，都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，应呈指数型函数变化，变量的增长速度最慢，应呈对数型函数变化
7、.故选C.3.答案：D解析：观察图表中函数值y随自变量x变化的规律可知，随着自变量x增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数.故选D.4.答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.5.答案：A解析：结合函数，的图像可知，随着x的增大，函数的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，的增长速度不变，故本题选A.6.答案：D解析：设每月的平均增长率为x，1月份产量为a，则，所以，即.7.答案：D解析：由题意可得，剩下的部分依次为，因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为，故选D.8.答案：C解析：由
8、散点图的连线是曲线可知，B选项不符合题意；对于A选项，因为A中的函数是二次函数，其图象对称轴为y轴，与题中图象不符，故排除A；对于D选项，D中的函数图象过定点，且必穿过x轴，D选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象，故选C.9.答案：C解析：由题列出如下表格：x/月1234月销量y/台100200400790根据表格中的数据，可知函数在上是增函数，且y随x的增大而增大得越来越快，分析各选项知选项C符合，故选C.10.答案：A解析：由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小，即在区间上一定存在，当时，故选A.11.答案：1300解析：设年增长率为，
9、则，所以，因此2020年预计经营总收入为（万元）.12.答案：2826解析：设每月应付款为x元，则自第一月至付清本利合计为.另一方面，15000元在5个月的本利合计为,，即（元）.13.答案：5%解析：设商品的原价为x元，成本为y元，则，.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为，利润率为.14.答案：（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和（，且）显然都是单调函数，不满足题意，选择.（2）把点，代入中，得解得，当时，y有最小值，且.故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元.15.答案：由题意，符合公司要求的模型需同时满足:当时，函数为增函数；函数的最大值不超过5；.(1)对于，易知满足，但当时，不满足公司的要求.(2)对于，易知满足，但当时，不满足公司的要求.(3)对于，易知满足.当时，.下面证明.因为，满足再证明，即.设，则，所以在上为减函数，满足.综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
