1、第3讲圆锥曲线的综合问题一、填空题1(2015苏北四市调研)若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，得1e2.答案(1，22(2015广州模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则PAPB的最大值为_解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得PBPC10，所以PAPB10PAPC，因为|PAPC|AC5，所以当点P，A，C三点共线时，PAPB取得最大值15.答案1
2、53在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为_解析由已知可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.答案4已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析由已知得A1(1，0)，F2(2，0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.答案25(2015榆林
3、模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是_解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案(1，26(2015成都模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_解析由e21，得，设M(x，y)，A(m，n)，B(m，n)，则k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案7(2014福建卷改编)设P，Q分别为圆x2(y
4、6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是_解析如图所示，设以(0，6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6.答案68(2014湖北卷改编)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_解析设PF1r1，PF2r2(r1r2)，F1F22c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2
5、r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，即的最大值为.答案二、解答题9设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上(1)解因为焦距为1，且焦点在x轴上，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P.直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为.因此，
6、直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)，将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限解得x0a2，y01a2.即点P在定直线xy1上10(2015天津卷)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，FM.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为
7、yk(xc)由已知，有，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线O
8、P的斜率的取值范围是.11已知椭圆的焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆方程为1(ab0)，由焦点坐标可得c1.由PQ3，可得3.又a2b21，得a2，b.故椭圆方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y10，y20，所以f(t)在1，)上单调递增，有f(t)f(1)4，3，当t1，m0时，3，又4R，Rmax.这时所求内切圆面积的最大值为.故F1MN内切圆面积的最大值为，且此时直线l的方程为x1.
