1、3柱面与平面的截面课时过关能力提升1.椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则焦距等于()A.6B.8C.10D.3解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意知2a=10,2b=8,即a=5,b=4,故2c=2a2-b2=6.答案:A2.一组底面为同心圆的圆柱面被一平面所截,则交线椭圆具有()A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的准线D.相同的离心率解析:因为底面半径大小不等,所以长轴长不同.嵌入的焦球不同,焦点不同,准线也不同,平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.答案:D3.已知圆柱面的底面半径为r,平面与圆柱面母线的夹角为60,则它们交线椭圆的焦距是()A.23r3
2、 B.43r3 C.3r3 D.r解析:如图所示,过点G2作G2HAD,H为垂足,则G2H=2r.在RtG1G2H中,G1G2=G2Hsin60=2r233=433r,则长轴长2a=G1G2=433r,短轴长2b=2r.所以焦距2c=2a2-b2=233r=233r.答案:A4.圆柱面的垂直截面是一个,一般截面是一个.答案:圆椭圆5.底面直径为10的圆柱面被与底面成60的平面所截,截得交线是一个椭圆,则该椭圆的长轴长等于,短轴长等于.答案:20106. 如图所示,AB,CD是两个半径为2的等圆的直径,ABCD,AD,BC与两圆相切,作两圆公切线EF,切点分别为F1,F2,交BA,DC的延长线于
3、E,F两点,交AD于点G1,交BC于点G2,设EF与BC,CD的交角分别为,.当=30时,=,G2F1+G2F2=,G2F1G2E=_.解析:当=30时,=90-30=60.如图,连接O2G2,在RtO2G2C中,由已知及O2,F2,G2,C四点共圆可求得G2O2C=30.G2C=O2CtanG2O2C=2tan 30=233.如图,连接O1G2,则在RtO1BG2中,G2O1B=90-12=60,BG2=O1BtanG2O1B=2tan 60=23.G2F1+G2F2=G2C+BG2=233+23=833.G2F1G2E=G2BG2E=cos =cos 60=12.答案:60833127.如
4、图所示,A是O内一定点,动圆P与O内切于点M,且经过点A,试判断动点P的轨迹.解如图所示,连接PA,OM,则OM经过点P.设O的半径为r.O与P内切,OM=r,PA=PM,PO+PA=PO+PM=OM=r(常数),动点P的轨迹是以O,A为焦点的椭圆.8.在阳光照射下,地面上篮球的影子是一个椭圆,如图所示,求证:篮球与地面的接触点是椭圆的焦点.证明如图所示,作篮球与影子的纵截面图,M为球心,O为A1A2的中点,D为篮球与地面的接触点,易知MDA1A2.设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则MD=b.因为光线EA1FA2,且EA1,FA2,A1A2均与M相切,所以EA1A2+FA2A1
5、=180,MA1E=MA1D,MA2D=MA2F.所以MA1D+MA2D=90,所以A1MA2=90.因为O为A1A2的中点,所以MO=A1O=A2O=a.所以OD=MO2-MD2=a2-b2=c,即OD为椭圆的半焦距,所以D是椭圆的一个焦点.即篮球与地面的接触点是椭圆的焦点.9.(拔高题)如图所示,在圆柱O1O2内嵌入双球,使它们与圆柱面相切,切线分别为O1和O2,并且和圆柱的斜截面相切,切点分别为F1,F2.求证:斜截面与圆柱面的截线是以点F1,F2为焦点的椭圆.证明如图所示,设点P为截线上任一点,连接PF1,PF2,则PF1,PF2分别是两个球面的切线,切点分别为F1,F2,过点P作母线,与两球面分别相交于点K1,K2,则PK1,PK2分别是两球面的切线,切点为K1,K2.根据切线长定理的空间推广,知PF1=PK1,PF2=PK2,所以PF1+PF2=PK1+PK2=K1K2.因为K1K2为定值,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.4
