1、学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 1,1,2,4,|1|1ABx x，则 AB（）A 1,2B1,2C1,4D 1,42(22i)(12i)（）A
2、24i B 24i C62iD62i3图 1 是中国古代建筑中的举架结构，,AA BB CC DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图其中1111,DD CC BB AA 是举，1111,OD DC CB BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA已知123,k k k 成公差为 0.1 的等差数列，且直线OA的斜率为 0.725，则3k （）A0.75B0.8C0.85D0.94已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,a cb c，则实数t （）A 6B 5C5D65甲、
3、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A12 种B24 种C36 种D48 种6若sin()cos()2 2 cossin4，则（）学科网（北京）股份有限公司A tan()1 B tan()1C tan()1 D tan()17已知正三棱台的高为 1，上下底面的边长分别为3 3 和 4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A100B128C144D1928 若 函 数()f x的 定 义 域 为 R，且()()()(),(1)1f xyf xyf x f yf，则221()kf k（）A 3B 2C0D1二、选择题：本题共
4、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。9已知函数()sin(2)(0)f xx的图象关于点 2,03对称，则（）A()f x 在50,12单调递减B()f x 在 11,12 12有两个极值点C直线76x 是曲线()yf x的一条对称轴D直线32yx是曲线()yf x的切线10已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一象限，点(,0)M p，若|AFAM，则（）A直线 AB 的斜率为2 6B|OBOFC|4|AB
5、OFD180OAMOBM 11如图，四边形 ABCD 为正方形，ED 平面 ABCD，,2FBED ABEDFB，记三棱锥 EACD，FABC，FACE的体积分别为123,V V V，则（）A322VVB31VVC312VVVD3123VV12若实数 x，y 满足221xyxy，则（）A1xyB2xy C222xyD221xy三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。学科网（北京）股份有限公司13 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布22,N，若(22.5)0.36PX，则(2.5)P X _14曲线ln|yx过坐标原点的两条切线方程为_，_15设点(2,3),(0,)
6、ABa，若直线 AB 关于 ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则 a 的取值范围为_16已知直线 l 与椭圆22163xy在第一象限交于 A，B 两点，l 与 x 轴、y 轴分别相交于M，N 两点，且|,|2 3MANBMN，则 l 的方程为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10 分）已知 na为等差数列，nb为公比为 2 的等比数列，且223344ababba（1）证明：11ab；（2）求集合1,1500kmk baam中元素个数18（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，以 a，b，c 为边长的
7、三个正三角形的面积分别为123,S S S，且12331,sin23SSSB（1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC，求 b19（12 分）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了 100 位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年
8、龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）20（12 分）如图，PO 是三棱锥 PABC的高，PAPB，ABAC，E 为 PB 的中学科网（北京）股份有限公司点（1）证明：OE平面 PAC；（2）若30ABOCBO ，3PO，5PA，求二面角CAEB正余弦值21（12 分）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点1122,P x yQ xy在 C 上，且1210,0 xxy过 P 且斜率为3的直线与过 Q 且斜率为3 的直线交于点
9、M从下面中选取两个作为条件，证明另一个成立M 在 AB 上；PQAB；|MAMB注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分22（12 分）已知函数()eeaxxf xx（1）当1a 时，讨论()f x 的单调性；（2）当0 x 时，()1f x ，求 a 的取值范围；（3）设nN，证明：222111ln(1)1122nnn2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.A8.A学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共
10、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.AD10.ACD11.CD12.BC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.0.14#75014.1eyx.1eyx 15.1 3,3 216.22 20 xy四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（1）设数列 na的公差为d，所以，11111111224283adbadbadbbad，即可解得，112dba，所以原命题得证（2）918.（1）28（2）1219.（1）44
11、.65 岁；（2）0.89；（3）0.0014 20.（1）证明：连接 BO 并延长交 AC 于点 D，连接OA、PD，因为 PO 是三棱锥 PABC的高，所以 PO 平面 ABC，,AO BO 平面 ABC，所以 POAO、POBO，又 PAPB，所以POAPOB，即OAOB，所以OABOBA，学科网（北京）股份有限公司又 ABAC，即90BAC，所以90OABOAD，90OBAODA，所以ODAOAD 所以 AODO，即 AODOOB，所以O 为 BD 的中点，又 E 为 PB 的中点，所以/OE PD，又OE 平面 PAC，PD 平面 PAC，所以/OE平面 PAC（2）111321.（
12、1）2213yx（2）由已知得直线 PQ 的斜率存在且不为零，直线 AB 的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线 AB 的斜率存在且不为零；若选推，则 M 为线段 AB 的中点，假若直线 AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 M 在 x 轴上，即为焦点 F,此时由对称性可知 P、Q 关于 x 轴对称，与从而12xx，已知不符；总之，直线 AB 的斜率存在且不为零.设直线 AB 的斜率为 k,直线 AB 方程为2yk x,则条件 M 在 AB 上，等价于2000022yk xkykx；两渐近线的方程合并为2230 xy,联立消去 y 并化简整理得：22223440kxk xk设 3
13、334,A x yB x y,线段中点为,NNN xy,则2342226,2233NNNxxkkxyk xkk,设00,M xy,学科网（北京）股份有限公司则条件 AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220 xxxxxyyyyy，3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxk yy,即200283kxkyk；由题意知直线 PM 的斜率为3,直线QM 的斜率为3,由101020203,3yyxxyyxx,1212032yyxxx,所以直线 PQ 的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3P
14、Myxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330 xy,即333xyxy中，得：000032 333yxxyx,解得 P 的横坐标：100001332 33xyxyx,同理：200001332 33xyxyx，00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx 003xmy,条件/PQAB 等价于003mkkyx，综上所述：条件 M 在 AB 上，等价于2002kykx；条件/PQAB 等价于003kyx；条件 AMBM等价于200283kxkyk；学科网（北京）股份有限公司选推:由解得：2200002228,433kkxxkyxkk,成立；选推：由解得：20223kxk，20263kkyk，003kyx，成立；选推：由解得：20223kxk，20263kkyk，02623xk，2002kykx，成立.22.（1）fx 的减区间为,0，增区间为0,.（2）12a（3）取12a，则0 x，总有12ee10 xxx 成立，令12ext，则21,e,2lnxttxt，故22 ln1ttt 即12lnttt 对任意的1t 恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn，整理得到：21ln1lnnnnn，故222111ln 2ln1 ln3ln 2ln1ln1122nnnnln1n，故不等式成立.
