1、3平均值不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是()A.若3a+3b23a3b,则a0,b0B.若ba+ab2成立,则a0,b0C.若a0,b0,且a+b=4,则1a+1b1D.若ab0,则ab2aba+b解析:当a,bR时,一定有3a0,3b0,必有3a+3b23a3b,故A错;要使ba+ab2成立,只要ba0,ab0即可,这时只要a,b同号,故B错;当a0,b0,且a+b=4时,则1a+1b=4ab.因为aba+b22=4,所以1a+1b=4ab1,故C错;当a0,b0时,a+b2ab,所以2aba+b2ab2ab=ab,而当a0,b0时,一定有ab2aba+b,故D正确.答案:D2.
2、函数f(x)=3x+3-x的最小值是()A.2B.1C.3D.22解析:因为3x0,3-x0,所以f(x)=3x+3-x=3x+13x23x13x=2,当且仅当3x=3-x,即x=0时,函数取得最小值2.答案:A3.若a1,则a+1a-1的最大值是()A.3B.aC.-1D.2aa-1解析:因为a1,所以a-10,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.92D.112解析:因为x0,y0,所以2xy=x2yx+2y22,当且仅当x=2y=2时等号成立.又2xy=8-(x+2y),所以8-(x+2y)x+2y22.令x+2y=t,则t2+4t-320,解得t4或t-8
3、(舍去),所以x+2y4,即x+2y的最小值是4,故选B.答案:B6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.解析:由平均值不等式可得x+4y24xy=4xy,当且仅当x=4y=2时等号成立,所以4xy4,所以0xy1,故xy的最大值为1.答案:17.若x0,则2x-x2的最大值为.解析:2x-x2=-x2-2x=-x2+-2x.因为x1,y1,且xy=1 000,求lg xlg y的最大值.解因为x1,y1,所以lg x0,lg y0.所以lg xlg ylgx+lgy22=lgxy22=lg1 00022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y=1010时等号成立,故l
4、g xlg y的最大值等于94.9.已知x0,y0,x+y=1,求证:1+1x1+1y9.证明1+1x1+1y=1+x+yx1+x+yy=2+yx2+xy=5+2yx+xy5+4=9,当且仅当yx=xy,即x=y=12时等号成立,所以1+1x1+1y9.10.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?解由题意可得,总造价y=32x150+12x400+5
5、 800=900x+16x+5 800(00的解集为xx-1a,且ab,则a2+b2a-b的最小值为.解析:由已知可得方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是=4-4ab=0,则ab=1.所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b2(a-b)2a-b=22,当且仅当a-b=2,ab=1,时,等号成立,故a2+b2a-b的最小值为22.答案:225.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则点P到这个三角形三边距离乘积的最大值是.解析:设点P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=12(3x+4y+5z).又因为
6、32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=1234=6,所以3x+4y+5z=26=12,所以12=3x+4y+5z333x4y5z=3360xyz,所以xyz1615.当且仅当3x=4y=5z,即x=43,y=1,z=45时等号成立.答案:16156.已知a2,求证:loga-1aloga(a+1).证明loga-1a-loga(a+1)=lgalg(a-1)-lg(a+1)lga=lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1).lg(a-1)lg(a+1)lg(a-1)+lg(a+1)22=lg(a2-1)220.又a2,lg(a-1)lg a0.lg 2a-l
7、g(a-1)lg(a+1)lgalg(a-1)0,即loga-1a-loga(a+1)0,loga-1aloga(a+1).7.导学号35664013东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80n+1元,科技成本投入为100n万元,则年利润为f(n)=(10+n)100-80n+1-100n(nN+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100-80n+1-100n=1 000-80n+1+9n+1520(万元),当且仅当n+1=9n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.故从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.
