1、综合测试卷(一)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021东城二模,1)已知集合A=x|10的解集为(-2,3),则mn=()A.5B.-5C.6D.-6答案C因为cosx-20的解集为(-2,3),所以x2-mx-n0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-23=-n,所以m=1,n=6,则mn=6.故选C.4.(2020海淀期中,5)如图,角以Ox为始边,它的终边与单位圆O相交于点P,且点P的横坐标为35,则sin2+的值为()A.-35B.35C.-45D.45答案B易知cos=35,
2、sin2+=cos=35.故选B.5.(2021首都师大二附中开学测试,6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.12B.1C.32D.43答案D由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,ABC中,AC边上的高为2,所以VP-ABC=13SABCPC=1312222=43,故选D.思路分析由三视图可知该几何体的底面为等腰三角形,且等腰三角形的底为2,底上的高为2,几何体的高为2,利用棱锥的体积公式可求出几何体的体积.6.(2021四川宜宾月考,9)函数f(x)=x23|x|-3的图象大致为()答案C易知f(x)的定义域为
3、(-,-1)(-1,1)(1,+),且f(x)为偶函数,可排除A,B,当x(0,1)时,3|x|-30,则f(x)0,由a1=2,且a1a5=64,得4q4=64,解得q=2,则an=2n,可得数列an(an-1)(an+1-1)即为2n(2n-1)(2n+1-1),2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1.数列an(an-1)(an+1-1)的前n项和是12-1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,故选A.8.(2021山东青岛二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域(包含边界)内
4、运动,且PBD=45,则动点P的轨迹长度为()A.B.2C.2D.22答案B因为PBD=45,所以P在以B为顶点,BD所在直线为轴,母线与轴夹角为45的圆锥的侧面上,由于轴BD对角面ACC1A1,ABD=CBD=45,因此在矩形ACC1A1区域(含边界)内P点的轨迹是以AC为直径的半圆弧,又AC=22,因此动点P的轨迹长度为2=2.故选B.9.(2021济南二模,7)将函数f(x)=3sinx+cosx的图象向右平移6个单位后,得到函数g(x)图象,则下列关于g(x)的说法正确的是()A.最小正周期为B.最小值为-1C.图象关于点32,0中心对称D.图象关于直线x=2对称答案D因为f(x)=3
5、sinx+cosx=2sinx+6,所以g(x)=2sinx-6+6=2sinx,所以g(x)的最小正周期为2,所以A错误;函数g(x)的最大值为2,最小值为-2,所以B错误;因为g32=2sin32=-20,所以图象不关于点32,0中心对称,所以C错误;因为g2=2sin2=2,所以图象关于直线x=2对称,所以D正确.故选D.10.(2021东北三省四市联考(二),10)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,O为坐标原点,|OA+OB|=3|OA-OB|,则实数a的值为()A.2B.2C.3D.6答案D由|OA+OB|=3|OA-OB|得(OA+OB)2=3(OA-OB)2,又
6、O为圆x2+y2=4的圆心,则|OA|=|OB|=2,所以OAOB=2,所以|OA|OB|cosAOB=2,即cosAOB=12,所以AOB=3,所以AOB是等边三角形且边长为2,则O到直线x+y=a的距离d=3,即d=|-a|12+12=3,解得a=6,故选D.11.(2018课标文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1答案D不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3
7、c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以椭圆的离心率e=ca=23+1=3-1.故选D.12.(2021哈尔滨三中一模,12)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=-x2,x0,f(x-1)-f(x-2),x0,则f(2020)+f(2021)的值等于()A.-5B.-4C.-3D.-2答案D因为x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+1)=-f(x-2),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)(x0),故f(x)在x0时是周期为6的函数,所以f(2020)=f(6336+4)=f(4)=-f(1
8、)=-f(0)+f(-1)=-1,f(2021)=f(6336+5)=f(5)=-f(2)=-f(1)-f(0)=-f(1)=-1,故f(2020)+f(2021)=-2,故选D.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021济南十一学校联考,14)已知m是常数,(1-mx)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,且a1+a2+a3+a4+a5=-2,则a1=.答案-10解析令x=0,可得1=a0,令x=1,可得(1-m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-2+a0=-1,m=2,故a1=C51(-2)1=-10.14.(2021黑龙江顶级名校模拟,1
9、4)已知不共线的平面向量a,b,c两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=2,|a+b+c|=7,则|c|=.答案4解析不共线的平面向量a,b,c两两所成的角相等,向量a,b,c两两所成的角为120.又|a|=1,|b|=2,|a+b+c|=7,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2|a|b|cos120+2|a|c|cos120+2|b|c|cos120=1+4+|c|2-2-|c|-2|c|=7,即|c|2-3|c|-4=0,解得|c|=4或|c|=-1(舍).故答案为4.15.(2022届长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过F作与x轴垂
10、直的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为.答案5+12解析设双曲线的半焦距为c,c0,则F(c,0),把x=c代入双曲线方程得y=b2a,不妨令Ac,b2a,Bc,-b2a,因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以c=b2a,所以ac=c2-a2,可得e2-e-1=0,又e1,所以e=1+52.16.(2022届广东惠州调研,15)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为,则cos的最大值为.答案25解析由已知条件知,AB,AD,AQ两两垂直,所以以A为
11、原点,分别以AB,AD,AQ所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),设AB=2,则E(1,0,0),F(2,1,0),则AF=(2,1,0).由M在线段PQ上,设M(0,y,2),0y2,EM=(-1,y,2),cos=|cos|=2-yy2+55,设f(y)=2-yy2+55,0y2,则f(y)=-2y-55(y2+5)y2+5,函数g(y)=-2y-5是一次函数,且为减函数,g(0)=-50,g(y)0在0,2上恒成立,f(y)0),2a1=b1=2,a2+a8=10,a1=1,2a1+8d=10,解得d=1.an=1+n-1=n.a4=S3-2S2+S1,
12、a4=b3-b2,2q2-2q=4,解得q=2(舍负).bn=2n.(2)由(1)得anbn=n2n.则数列anbn的前n项和Tn=2+222+323+n2n.2Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1.-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1,Tn=(n-1)2n+1+2.18.(2021太原一模,19)如图,在三棱锥P-ABC中,PAB是正三角形,G是PAB的重心,D,E,H分别是PA,BC,PC的中点,点F在BC上,且BF=3FC.(1)求证:平面DFH平面PGE;(2)若PBAC,AB=AC=2,BC=22,求三棱锥P-DEG的体积.解析(1)证
13、明:连接BG,由题意可得BG与GD共线,且BG=2GD,E是BC的中点,BF=3FC,F是CE的中点,BGGD=BEEF=2,GEDF,又GE平面PGE,DF平面PGE,DF平面PGE.H是PC的中点,F是EC的中点,FHPE,又PE平面PGE,FH平面PGE,FH平面PGE,又DFFH=F,DF平面DHF,FH平面DHF,平面DFH平面PGE.(2)AB=AC=2,BC=22,AB2+AC2=8=BC2,ABAC,PBAC,ABPB=B,AC平面PAB.PAB是正三角形,SPAB=34AB2=3,VP-DEG=VE-PDG=13VE-PBD=16VE-PAB=112VC-PAB=11213S
14、PABAC=318.19.(2021百校联盟质量监测)为了增加超市的销售量,营销人员采取了相应的推销手段,每位顾客消费达到100元可以获得相应的积分,每花费100积分可以参与超市的抽奖游戏,游戏规则如下:抽奖箱中放有2张奖券,3张白券,每次任取两张券,每个人有放回地抽取三次,即完成一轮抽奖游戏;若摸出的结果是“2张奖券”三次,则获得10100积分,若摸出的结果是“2张奖券”一次或两次,则获得300积分,若摸出“2张奖券”的次数为零,则获得0积分;获得的积分扣除花费的100积分,则为该顾客所得的最终积分,最终积分若达到一定的标准,可以兑换电饭锅、洗衣机等生活用品.(1)求一轮抽奖游戏中,甲摸出“
15、2张奖券”的次数为零的概率;(2)记一轮抽奖游戏中,甲摸出“2张奖券”的次数为X,求X的分布列以及数学期望;(3)试用概率与统计的相关知识,从数学期望的角度进行分析,多次参与抽奖游戏后,甲的最终积分情况.解析(1)每次抽取,摸出“2张奖券”的概率P=C22C52=110,故一轮游戏中,甲摸出“2张奖券”(记为事件A)的次数为零的概率P(A)=9103=7291000.(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,故P(X=0)=P(A)=7291000,P(X=1)=C311101-1102=2431000,P(X=2)=C3211021-110=271000,P(X=3)=1103=11000
16、,故X的分布列为X0123P7291000243100027100011000故E(X)=07291000+12431000+2271000+311000=310.(3)记一轮抽奖游戏后,甲的最终积分为Y分,Y的所有可能取值为-100,200,10000,则Y的分布列为Y-10020010000P7291000270100011000故E(Y)=-72900+54000+100001000=-8.9,可知一轮游戏过后,甲的最终积分的期望为负数,故多次参与抽奖活动后,可以估计甲的最终积分会越来越少.20.(2022届T8联考,20)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0),圆C:(x-2m)2
17、+(y-4m)2=1(m0),点F1,F2分别为E的左,右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l.已知E的离心率为12,点F1,F2关于直线l的对称点都在圆C上.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问:是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23?若存在,求实数m的值;若不存在,说明理由.解析(1)因为e=ca=12,所以a=2c.设点F1,F2关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段F1F2的中点,所以C为线段MN的中点,从而线段MN为圆C的一条直径,所以|F1F2|=|MN|=2,即2c=2,即c=1.于是a=2,b2
18、=a2-c2=3,所以椭圆E的方程是x24+y23=1.(2)因为原点O为线段F1F2的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线,所以点O与C也关于直线l对称,因为点C(2m,4m),所以线段OC的中点为(m,2m),直线OC的斜率为2,又直线l为线段OC的垂直平分线,所以直线l的方程为y-2m=-12(x-m),即y=-12x+5m2.将y=-12x+5m2代入x24+y23=1,得3x2+4-x2+5m22=12,即4x2-10mx+25m2-12=0.因为直线l与椭圆E相交,所以=100m2-16(25m2-12)0,解得m21625,即|m|0),aR.(1)讨论f(
19、x)的单调性;(2)若对任意x(0,+),均有f(x)0,求a的值;(3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81,若其10次投篮全部命中的概率为p,证明:pe-2.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ax-12x=2a-x2x.若a0,则f(x)0恒成立,此时函数f(x)在(0,+)上为减函数;若a0,由f(x)0可得0x4a2,由f(x)4a2,此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,4a2),单调递减区间为(4a2,+).综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,+)上为减函数;当a0时,函数f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+)上单调递减.(2)当a
20、0时,函数f(x)在(0,+)上为减函数,且f(1)=0,当0xf(1)=0,不合题意.当a0时,由(1)知f(x)max=f(4a2)=aln(4a2)-2a+1=2aln(2a)-2a+10,令t=2a,t0,可得tlnt-t+10,即lnt-1+1t0,令g(t)=lnt+1t-1,其中t0,则g(t)=1t-1t2=t-1t2.当0t1时,g(t)1时,g(t)0,此时函数g(t)单调递增.所以,g(t)min=g(1)=0,则g(t)g(1)=0,又g(t)0,所以g(t)=0,所以2a=t=1,解得a=12.(3)由题意可得p=0.8110,由(2)可知,当a=12时,lnx2-x
21、+10,即lnx2(x-1),所以ln0.8110=10ln0.8120(0.81-1)=-2,因此,pe-2.(二)选择题(从下面两道题中选一题做答)22.(2021安徽黄山二模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin(其中为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当02时,求|OA|2+|OB|2的最小值.解析(1)将曲线C1的参数方程x=3cos,y=sin(其中为参数)转化为普通方程,为x23+
22、y2=1,根据x=cos,y=sin,x2+y2=2转化为极坐标方程为2cos23+2sin2=1,整理得2=31+2sin2.曲线C2:x2+y2-2y=0,根据x=cos,y=sin,x2+y2=2转化为极坐标方程为=2sin.(2)根据(1)的结论,得|OA|2+|OB|2=31+2sin2+4sin2=31+2sin2+2(1+2sin2)-2,由于02,故11+2sin20,3(a2+b2+c2)=2(a2+b2+c2)+(a2+b2+c2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac+(a2+b2+c2)=(a+b+c)2=36(当且仅当a=b=c=2时取等号),a2+b2+c212.12
