1、10.2二项式定理一、选择题1.(2022届江苏徐州期中,5)若x-ax8的展开式中x6的系数是-16,则实数a的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案DTk+1=C8kx8-k-axk=C8k(-a)kx8-2k,令8-2k=6,则k=1,则C81(-a)1=-16,a=2.故选D.2.(2022届广东调研,5)3x+1x6的展开式中的常数项为()A.90B.20C.540D.600答案C3x+1x6的展开式的通项为Tk+1=C6k36-kx6-kx-k=C6k36-kx6-2k,令6-2k=0,得k=3,则常数项为T4=540.3.(2021山东枣庄二模,6)若x6=a0+a1(x+1)
2、+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a6(x+1)6,则a3=()A.20B.-20C.15D.-15答案B因为x6=(x+1)-16,所以展开式的通项为Tk+1=C6k(x+1)6-k(-1)k,令6-k=3,则k=3,所以a3=C63(-1)3=-20,故选B.4.(2022届北京入学定位考试,7)二项式(2+1)4的化简结果为()A.16+82B.17+82C.16+122D.17+122答案D由二项式定理得(2+1)4=C40(2)4+C41(2)3+C42(2)2+C432+C44=4+82+12+42+1=17+122,故选D.一题多解(2+1)4=(2+1)22=(3+22)2
3、=9+122+8=17+122,故选D.二、填空题5.(2022届山东平邑一中收心考)若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+a100x100,则2(a1+a3+a5+a99)-3被8除的余数为.答案5解析令x=1,得a0+a1+a2+a100=3100,令x=-1,得a0-a1+a2-+a100=1,两式相减得2(a1+a3+a5+a99)=3100-1,即2(a1+a3+a5+a99)-3=3100-4,因为3100-4=950-4=(8+1)50-4=C500850+C501849+C50k850-k+C50498+C5050-4=C500850+C501849+C50k850-k
4、+C50498-3=C500850+C501849+C50k850-k+C50498-8+5,kN,因为C500850+C501849+C50k850-k+C50498-8能被8整除,所以C500850+C501849+C50k850-k+C50498-8+5被8除的余数为5,即2(a1+a3+a5+a99)-3被8除的余数为5.6.(2022届广东开学质检,15)(3x2+2x+1)10的展开式中,x2项的系数为.答案210解析展开式中含x2项为C109(3x2)+C108(2x)218=210x2,即x2项的系数为210.7.(2022届河北9月开学摸底,13)y2(x-y)8的展开式中x
5、5y5的系数为.答案-56解析因为(x-y)8的展开式中x5y3的系数为C83(-1)3=-56,所以y2(x-y)8的展开式中x5y5的系数为-56.8.(2022届重庆西南大学附中开学考,14)在x+axn的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则含x6项的系数为.答案45解析x+axn的展开式中,只有第六项的二项式系数Cn5最大,n=10,令x=1,可得所有项的系数和为(1+a)10=0,a=-1.故展开式的通项为Tk+1=C10k(-1)kx10-2k,令10-2k=6,得k=2,可得含x6项的系数为C102=45.9.(2022届山东平邑一中收心考)若(2x+1
6、)100=a0+a1x+a2x2+a100x100,则2(a1+a3+a5+a99)-3被8除的余数为.答案5解析令x=1,得a0+a1+a2+a100=3100,令x=-1,得a0-a1+a2-+a100=1,两式相减得2(a1+a3+a5+a99)=3100-1,即2(a1+a3+a5+a99)-3=3100-4,因为3100-4=950-4=(8+1)50-4=C500850+C501849+C50k850-k+C50498+C5050-4=C500850+C501849+C50k850-k+C50498-3=C500850+C501849+C50k850-k+C50498-8+5,kN
7、,因为C500850+C501849+C50k850-k+C50498-8能被8整除,所以C500850+C501849+C50k850-k+C50498-8+5被8除的余数为5,即2(a1+a3+a5+a99)-3被8除的余数为5.10.(2022届北京市中关村中学开学测试,11)若x-2xn的展开式中各项的二项式系数的和是8,则展开式中常数项为,各项的系数的和为.(用数字作答)答案-6;-1解析因为x-2xn的展开式中各项的二项式系数的和是8,所以2n=8,解得n=3,所以通项为Tk+1=C3k(x)3-k-2xk=C3k(-2)kx3-3k2,令3-3k2=0,解得k=1,所以常数项为T
8、2=C31(-2)=-6.令x=1,得各项的系数的和为(1-2)3=-1.11.(2022届浙江百校开学联考,13)若2x+x+m5(m为实数)的展开式中所有项的系数和为1024,则m=,常数项为.答案1;161解析令x=1,可得(3+m)5=1024,m=1,则2x+x+m5=2x+x+15.2x+x+15的展开式的常数项为C5322C31+C542C43+C55=161.12.(2022届福建泉州监测)已知(x+m)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a5(x-1)5(mR),若(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=35,则m=.答案-3或1解析令x=0,得m5=a0-a1+a2-a5;令x=2,得(2+m)5=a0+a1+a2+a5.因为(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5),所以(2+m)m5=35,解得m=-3或1.3
