1、复习课(一)立体几何初步一、几何体的三视图及其应用三视图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质由空间几何体的直观图可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何体的直观图另外，三视图也常结合简单几何体的表面积与体积进行考查1由几何体的三视图识别几何体【典例1】如下图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_解析由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1ABCD)，还原在正方体中，如图多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长AB2知最长棱的长为2.答案
2、2由三视图还原几何体时，要根据几何体的主视图、左视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的特征，从而判断三视图所描述的几何体2由几何体的三视图计算几何体的表面积或体积【典例2】(1)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A. B.C. D.(2)一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析(1)由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，V1，故选C.(2)该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为(422)216.答
3、案(1)C(2)16(1)求几何体的表面积，注意组合体的各个面(2)本例(2)是一个锥体与半球体的组合体，应分别求出体积再求和二、球的问题球与多面体的位置关系问题突出考查了立体几何的核心能力空间想象力，在其求解过程中，除了用到球体与多面体的性质外，还要用到平面几何的知识，综合性很强，是高考试题命题者青睐的一个考点【典例3】已知在半径长为2的球面上有A，B，C，D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为()A. B.C2 D.解析如图，设O为球心，OA，OB，OC，OD四条线段把四面体ABCD分成四个三棱锥，且三棱锥BODC与AODC同底，三棱锥DAOB与CAOB同底在三棱锥BODC
4、和AODC中，底面积为22，高分别为B到平面ODC的距离与A到平面ODC的距离，只有AB平面ODC时，两距离之和才能取得最大值2，所以其体积和最大值为2.同理可得三棱锥DAOB与CAOB的体积和的最大值为.所以四面体ABCD的体积的最大值为.答案B求球体与多面体的组合体问题的关键是将空间问题转化为平面问题解决三、空间中的平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题【典例4】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否
5、存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，OFPD. 又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MAPB且MAPB，PFMA且PFMA，四边形AFPM是平行四边形，AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面PMD.(1)判断线面平行的两种常用方法利用线面平行的判定定理利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任
6、一直线平行于另一平面(2)判断面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理面面平行的传递性(，)利用线面垂直的性质(l，l)四、空间中的垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系【典例5】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，
7、PAAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以APCD.又因为APADA，AP，AD平面PAD，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，EF，BE平面BEF，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.(1)判定线面垂直的方
8、法线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)面面垂直的性质(，l，a，ala)面面平行的性质(a，a)面面垂直的性质(l，l)(2)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理五、折叠问题处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比，有哪些位置关系和相关量发生了变化，如果发生变化，那么发生了怎样的变化，哪些没有发生变化，切不可混淆不清，特别是翻折前的线线垂直、线面垂直、面面垂直在翻折后是否发生了变化【典例6】如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使
9、点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积. 解(1)证明：由已知可得，BAC90，BAAC.又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPQESABP132sin451.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的
10、变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况等质量检测(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D1解析所得旋转体是底面半径为1
11、，高为1的圆柱，其侧面积S侧2Rh2112.答案A2教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线()A平行 B垂直 C相交 D异面解析当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对答案B3设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是 ()A11 B21C32 D43解析圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱的全面积S12R22R2R6R2，球的表面积S24R2，.答案C4已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若、垂直于同一平面，则与平行B若m、n平行于同一平面，则m与n平行C若
12、、不平行，则在内不存在与平行的直线D若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，、可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确答案D5已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1V2()A13 B11 C21 D31解析V1V2(Sh)31.答案D6.如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的面积为()A6 B3C6 D12解析OAB是直角三角形，OA6，OB4，AOB90，SOAB6412.答案D7某三棱
13、锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60 B30 C20 D10解析由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点P作PB平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱锥PACD35410.故选D.答案D8如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是()A90 B60C45 D30 解析如图，连接BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BDDCa，BCACa，所以BDC90.答案A9已知互相垂直的平面、交于直线l.若直线m、n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn解
14、析选项A，只有当m或m时，ml；选项B，只有当m时，mn；选项C，由于l，nl；选项D，只有当m或m时，mn，故选C.答案C10已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且ABCD，ADBC，则直线BD与AC()A垂直 B平行C相交 D位置关系不确定解析过点A作AO平面BCD，垂足为O，连接BOABCD，由三垂线定理可得BOCD.同理DOBC，O为ABC的垂心所以COBD，BDAO，COAOO，BD平面ADC，所以BDAC.故选A.答案A11设a，b是异面直线，则以下四个结论：存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线a和b的两个平行平面；经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
15、；经过直线a有且只有一个平面平行于直线b.其中正确的个数有()A1 B2 C3 D4解析对于，可在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断错误；对于，假设过直线a有两个平面，与直线b平行，则面，相交于直线a，过直线b做一平面与面，相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以正确，故选C.答案C12如图，一个正三棱柱的主视图是边长为的正方形，则它的外接球的体积等于()A8 B. C9 D.解析因为正三棱柱A
16、BCDEF的主视图是边长为的正方形，所以正三棱柱的高是，底面正三角形的高也是.设它的外接球的球心为O，半径为R，底面ABC的中心为G，所以OGA是直角三角形，OG是高的一半，所以OG，GA是正三角形ABC的高的，所以GA.在OAG中由勾股定理得R2OG2GA2，解得R2.所以球的体积为V3.故选B.答案B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_解析连接A1C1，交B1D1于点O，很明显A1C1平面BDD1B1，则A1O是四棱锥的高，且A1OA1
17、C1S四边形BDD1B1BDDD11结合四棱锥体积公式可得其体积为：VSh.答案14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_解析因为C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因为MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1所以MNC1M，所以C1MN90.答案9015棱长为a的正四面体的全面积为_，体积为_. 解析因为正四面体的棱长为a，所以正四面体的底面积为Sa2a2，正四面体的表面积为S4a2a2，正四面体的底面外接圆半径为raa，正四面体的高为ha
18、，正四面体的体积为VSha2aa3，故答案为a2，a3.答案a2a316已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r三棱锥SABC的体积VOA即9，r3，S球表4r236.答案36三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)轴截
19、面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积解如图所示，作出轴截面因为ABC是正三角形，所以CDAC2所以AC4，AD42所以R.所以V球R33.所以球的体积等于.18. (本小题满分12分)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解因为V半球R343134(cm3)V圆锥r2h4212201(cm3)134201，所以V半球V圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子19(本小题满分12分) 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点. 求证：(1)MN平面CC1D1
20、D；(2)平面MNP平面CC1D1D.证明(1)如图，连接AC，CD1.因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点又M为AD1的中点，所以MNCD1.因为MN平面CC1D1D，CD1平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D.(2)连接BC1，C1D，因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点又N为BD的中点，所以PNC1D.因为PN平面CC1D1D，C1D平面CC1D1D，所以PN平面CC1D1D.由(1)知MN平面CC1D1D，且MNPNN，所以平面MNP平面CC1D1D.20. (本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC
21、，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积解(1)证明：因为PAAB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，PAACA，所以BD平面PAC，又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE所以PADE.因为D为AC的中点所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC所以DE平面ABC所以三棱锥EBCD的体积VBD
22、DCDE.21. (本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，AOB60，OA72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)试求：(1)AD的长；(2)容器的容积解(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，ADx则OD72x，由题意得即AD应取36 cm.(2)2rOD36，r6 cm圆台的高h6.Vh(R2Rrr2)6(12212662)504(cm3)即容器的容积为504 cm3.22(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC
23、与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又易得CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)得A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积Sa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.
