1、上海市嘉定区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.1.函数的最小正周期为_ _【答案】【解析】试题分析：根据三角函数周期公式考点：正余弦函数的周期公式2.设，则_.【答案】【解析】【分析】先根据指数函数的性质求出集合B，再进行集合运算即可【详解】由在R上为增函数，所以，x|x1，故答案为：【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题3.不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】原不等式即为或，分别解出，再求交集即可【详解】不等式10即为0
2、，即为或，即有x或x4，则解集为故答案为：【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题4.命题A：|x1|3，命题B：(x2)(xa)0；若A是B的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 .【答案】(,4)【解析】【详解】对于命题A：|x1|3，-2x4,要使A是B的充分而不必要条件,则a4,即实数a的取值范围是(,4)5.己知是函数的反函数，且.则实数_.【答案】1【解析】【分析】由yf1（x）是函数yx3+a的反函数且f1（2）1知213+a，从而解得详解】f1（2）1，213+a，解得，a1故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的定义及性质的应用，
3、属于基础题6.已知，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可【详解】第四象限角，故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力7.在中角所对的边分别为，若则_【答案】【解析】,；由正弦定理，得，解得.考点：正弦定理.8.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则 （用数值表示）【答案】【解析】试题分析：由已知得，从而由三角函数的定义可知，从而故答案为：考点：1三角函数的定义；2二倍角公式9.定义在R上的偶函数在为单调递增，则不等
4、式的解集是_.【答案】【解析】【分析】由偶函数的性质，再结合函数的单调性可得，再解绝对值不等式即可得解.【详解】解：因为函数为定义在R上的偶函数，则由可得，又函数在为单调递增，则，解得，故不等式的解集是：.【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，属基础题.10.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是_.【答案】【解析】试题分析：由题意，将其图象向右平移个单位，得，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值.考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.11.函数，的最小值为_.【答案】5【解析】【分析】用三角函
5、数的恒等变换化简f（x），结合基本不等式求出f（x）的最值即可.【详解】此时时取等，但，所以，当时，有最小值为5，故答案为：5.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是综合性题目12.若关于的不等式的解集恰好是，则 【答案】4【解析】【详解】试题分析： 设，对称轴为，此时，有题意可得;,且，由，解得：（舍去）或，可得，由抛物线的对称轴为得到，所以考点：二次函数的性质二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.“”是“”的（ ）A. 充分非必
6、要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】解方程，得出的值，然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系.【详解】解方程，得，因此，“”是“”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.14.下列函数是在为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；指数函数，底数大
7、于1时，在上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数； 反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；故选：C.【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键15.已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定二次函数对称轴为，代入得，再结合定义域和函数图像的对称性可求得的取值范围【详解】如图，二次函数对称轴为，代入得，当时，由二次函数的对称性可知，的值域是，所以故选：C【点睛】本题考查由二次函数值域求解定义域中参数范围，二次函数对称性问题，是基础题型，常规求解思路为：先确定对
8、称轴，再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间16.在中，则角A的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围详解】利用正弦定理化简sin2Asin2B+sin2CsinBsinC得：a2b2+c2bc，变形得：b2+c2a2bc，cosA，又A为三角形的内角，A的取值范围是（0，故选：A【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、
9、余弦定理是解本题的关键，属于基础题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知.（1）解关于x的不等式：.（2）已知，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将绝对值去掉，转化为两个一元二次不等式，解出后取并集即可.（2）先化简集合B，由分、四种情况分别求解即可.【详解】（1）即，或由，即，得由，即，；综上，.（2），A是B的子集；由，解得，或；（i）当时，解得（ii）时，可知，得：检验：，可得，满足题意；（iii）时，可知，解得：检验：，解得，符合题意；（iv）时，由韦达定理可知，且，无解；综上，【点
10、睛】本题考查了集合的基本关系，二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.18.设的三个内角A，B，C的对均分别为a，b，c.满足：（1）求角A的大小；（2）若，试判断的形状，并说明理由.【答案】（1）；（2）为等边三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可得tanA，从而可求A的大小；（2）利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状【详解】（1）由正弦定理进行边角互化：，又（2），1cosB+1cosC1，cosB+cosC1，cosB+cos（120B）1，cosBcosBsinB1，cosBsinB1，sin（B+30）1，B60，C60，ABC是等边三角形【点
11、睛】本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍角公式是关键19.已知我国华为公司生产某款手机年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且.()写出年利润(万元）关于年产量(万只）的函数的解析式；()当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】() ；（）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论试题解析：（1）当时，当时，所以.（2）当时，所以；当时，由于，当且仅当，即时，
12、取等号，所以的最大值为，综合可知，当时，取得最大值为.20.已知函数，其中.（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令，的最大值为A，函数在区间上单调递增函数，求的取值范围；（3）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值.【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）特值法：1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）当时，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h（x），进而求得h（x）的最大值A，由题意可知：对称轴，解得，即可
13、求得的取值范围（3）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）0可得g（x）可能的零点，而a，a+10恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值；【详解】（1）当时，f（x）2sinx，F（x）f（x）+f（x）2sinx+2sin（x）2（sinx+cosx），F（）2，F（）0，F（）F（），F（）F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）当时，由题意，在区间上单调递减抛物线对称轴，即（3）f（x）2sin2x，将yf（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y2sin2（x）+1的图象，所以g（x）2s
14、in2（x）+1令g（x）0，得xk或xk（kz），因为a，a+10恰含10个周期，所以，当a是零点时，在a，a+10上零点个数21，当a不是零点时，a+k（kz）也都不是零点，区间a+k，a+（k+1）上恰有两个零点，故在a，a+10上有20个零点综上，yg（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值为21或20【点睛】本题考查二次函数性质，两角和的正弦公式，辅助角公式、诱导公式，考查函数yAsin（x+）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查分类讨论思想，属于中档题.21.已知函数是奇函数（其中）（1）求实数m的值；（2）已知关于x的方程在区间上有实数解，求实数k的取值范
15、围；（3）当时，的值域是，求实数n与a的值.【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由f（x）是奇函数，f（x）f（x），结合对数的真数大于0求出m的值；（2）由题意问题转化为求函数在x2，6上的值域，求导判断出单调性，进而求得值域，可得k的范围（3）先判定函数的单调性，进而由x时，f（x）的值域为（1，+），根据函数的单调性得出n与a的方程，从而求出n、a的值【详解】（1）f（x）是奇函数，f（x）f（x），logalogaloga，即1m2x21x2对一切xD都成立，m21，m1，由于0，m1；（2）由（1）得，即，令，则，在区间上单调递减，当时，；当时，；所以，.（3）由（1）得，且在与上单调递减x（n，a2），定义域D（，1）（1，+），当n1时，则1na2，即a1+2，f（x）在（n，a2）上为减函数，值域为（1，+），f（a2）1，即a，a3，或a1（不合题意，舍去），且n1；当n1时，则（n，a2）（，1），na21，即a21，且f（x）在（n，a2）上的值域是（1，+）；f（a2）1，即a，解得a3（不合题意，舍去），或a1；此时n1（舍去）；综上，a3，n1【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根，不等式以及单调性与奇偶性的综合运用，涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用，属中档题
