1、课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y=2x2+1在x0到x0+x之间的平均变化率.解：当自变量从x0到x0+x时,函数的平均变化率为温馨提示求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量f=f(x2)-f(x1)，(2)计算平均变化率.二、利用导数的定义求导【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y=x2+ax+b;(2)y=.解：y=(x+x)2+a(x+x)+b-x2-ax-b=(x)2+a(x)+2xx.=x+a+2x.y=limx0(x+a+2x)=2x+a.(2)y=-即y=.温馨提示利用定义求导数分三步:求y;求;.三、导数定义的应用【例3】 已知一物
2、体的运动方程是求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.分析：要求瞬时速度就是求s(t).解：当t=1时，=6+3t,所以s(1)=limt0(6+3t)=6.即当t=1时的瞬时速度为6.当t=4时，=,所以s(4)=limt0(6+3t)=6.即当t=4时的瞬时速度为6.温馨提示 本题是以分段函数的形式给出了运动方程，求解时要根据t的值选取函数的解析式.各个击破类题演练1 求函数y=x3-2,当x=2时,的值.答案：解:y=(x+x)3-2-(x3-2)=(2+x)3-23=(x)3+6(x)2+12x.=(x)2+6x+12.变式提升 1 如果一个质点从定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=
3、f(t)=t3+3,当t1=4且t=0.01时,求y和.答案：解:y=(x+x)3-2-(x3-2)=(2+x)3-23=(x)3+6(x)2+12x.=(x)2+6x+12.解:y=f(4+t)-f(4)=(4+t)3+3-43-3=t3+48t+12t2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201.=48.120 1.类题演练 2求函数y=在x=3处的导数.解析:转化成导数的定义.=f(x0)+f(x0)=f(x0).变式提升 2 已知f(x)在x0处可导,则等于( )A.f(x0) B.f(x0) C.2f(x0) D.4f(x0)解:y=,=-4=.y|=
4、v.答案:B类题演练 3 火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，试问熄火后多长时间火箭速度为零？（g=9.8 m/s2）解:火箭的运动方程为h(t)=100t-gt2.在t附近的平均变化率为h(t)=(100-gt-gt)=100-gt.令h(t)=0，即100-gt=0.解得t=10.2(s).答：火箭熄火后约10.2 s速度变为零.变式提升3已知f(x)=x2,g(x)=x3,求适合f(x)+2=g(x)的x值.分析：要求x的值，需利用导数的定义求出f(x)、g(x)，然后解方程.解:由导数的定义知，f(x)= =2x,g(x)=3x2.因为f(x)+2=g(x)，所以2x+2=3x2.即3x2-2x-2=0,解得x=或x=.第 3 页
