1、高考资源网（） 您身边的高考专家2019-2020-1高二年级数学期中考试试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确的命题是（ ）A存在两条异面直线同时平行于同一个平面B若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C底面是矩形的四棱柱是长方体D棱台的侧面都是等腰梯形2圆O1：x2y22x0与圆O2：x2y24y0的位置关系是（ ）A外离B相交C外切D内切3若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A. B2 C2 D44当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C
2、，则以C为圆心，为半径的圆的方程为（ ）Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y05已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A16 B20 C24 D326设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线且|PA|1，则点P的轨迹方程是()A(x1)2y24 B(x1)2y22 Cy22x Dy22x7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A90 B60 C45 D308在平面直角坐标系xOy中，圆C与圆
3、O：x2y21外切，且与直线x2y50相切，则圆C的面积的最小值为()A. B3 C. D(62)9如图所示，AB是O的直径，VA垂直于O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC10如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B到平面AB1C的距离是()A. B. C. D411阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（ ）A
4、 BC D12在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（ ）A BC D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13原点O在直线l上的射影为点H(2，1)，则直线l的方程为_14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为_15.求经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程_16四面体中，点是的中点，点在平面的射影恰好为的中点，则该四面体外接球的表面积为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
5、步骤)17四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，ABCD1，PA平面ABCD，PAAD.(1)求证：PDAB；(2)求四棱锥P-ABCD的体积18已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0。(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线l的方程。19如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PAAC，PA6，BC8，DF5求证：（1）直线PA面DEF；（2）平面BDE平面ABC20.如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(
6、1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值21已知圆C：x2y22x4y30.(1)求过点( 3，0)且与圆C相切的直线的斜率；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|PO|，求|PM|的最小值22已知点，动点满足，记M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H连结QH并延长交C于点R设O到直线QH的距离为，求面积的最大值2019-2020-1高二年级数学期中考试理科答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给
7、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)选项123456789101112答案ABACCBCCDCAD1 A 解析：由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B不正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C不正确；正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D不正确，故选A2B 解析：圆O1(1,0)，r11，圆O2(0,2)，r22，|O1O2|12，且21，故两圆相交故选B3A 解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，rhl，则(r)21，r1，l.所以圆锥的侧面积为rl
8、.4C 解析：由(a1)xya10得a(x1)(xy1)0，所以直线恒过定点(1,2)，所以圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0，故选C5C 解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为2，正四棱柱的对角线为2.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R2.所以R.所以S球4R224.6B 解析：由题意知，圆心(1，0)到点P的距离为，所以点P在以(1，0)为圆心、为半径的圆上所以点P的轨迹方程是(x1)2y22.7C 解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DAC平面ABC.取AC的中点O，则DBO即为直线BD和平面ABC所成的角易知D
9、OB是等腰直角三角形，故DBO45.8C 解析：由题可知，(0，0)到直线x2y50的距离为.又因为圆C与圆O：x2y21外切，圆C的直径的最小值为1，圆C的面积的最小值为.9D 解析：对于A，MN与AB异面，故A错，对于B，可证BC平面VAC，故BCMN，所以所成的角为90，因此B错；对于C，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C错；对于D，由于BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC，因为ACVAA，所以BC平面VAC，BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC，故选D。10C 解析：由正方体的性质，易知ACB1CAB1，所以SAB1C()2. 又SABC12
10、.知V三棱柱B1-ABC1. 设点B到平面AB1C的距离为h，从而V三棱锥B-AB1Ch， 所以h.11A 解析：以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，则、，设，两边平方并整理得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则有，如下图所示：当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且，因此，12D解析：取的中点，连接，设.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)132xy50解
11、析：所求直线应过点(2，1)且斜率为2，故可求直线为2xy50 14 1解析：三棱锥PABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.15 (x4)2(y3)225.解析：设圆心为C(x，y)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为，即xy10.解方程组得圆心C的坐标为(4，3) 又圆的半径r|OC|5，所求圆的方程为(x4)2(y3)225.16 解析：如图，由题意得BCD为等腰直角三角形，且，点E是BCD外接圆的圆心点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，, 设球心到平面BCD是距离为h， 则有， 解得，四面体外接球的半径，该四面体
12、外接球的表面积为三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17解析：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，又因为ABAD，ADPAA，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD. 5分(2)解：S梯形ABCD(ABCD)AD，又PA平面ABCD，所以V四棱锥P-ABCDS梯形ABCDPA. 10分18解析：将圆C的方程x2y28y120配方，得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2。(1)若直线l与圆C相切 ，则有2，解得a。 6分(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7或a1
13、。故所求直线方程为7xy140或xy20。 12分19解析：（1）在PAC中，D、E分别为PC、AC中点，则PADE，PA面DEF，DE面DEF，因此PA面DEF 6分（2）DEF中，DEPA3，EFBC4，DF5，DF2DE2EF2，DEEF，又PAAC，DEACDE面ABC，面BDE面ABC 12分20. 解析：(1)解：由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 4分(2)证明：如图，由(1)知ADPD.又因为BCAD，所以PD
14、BC.又PDPB，PBBCB，所以PD平面PBC. 8分(3)解：过点D作DFAB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，所以PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，所以BCDC.在RtDCF中，可得DF2；在RtDPF中，可得sinDFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 12分21解析：(1)x2y22x4y30可化为(x1)2(y2)22，设直线l的为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心C到直线l的距离解得或 5
15、分 (2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CMPM，所以PMC为直角三角形所以|PM|2|PC|2|MC|2.设点P为(x，y)，由(1)知点C为(1，2)，|MC|，因为|PM|PO|，所以，化简得点P的轨迹方程为2x4y30.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x4y30的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为. 12分22解析：（1）由及两点距离公式，有，化简整理得，所以曲线C的方程为； 5分（2）过O作于D，则D为QR中点，则，又由，故的面积，由，有，所以，当且仅当时，等号成立，的面积最大值为的面积最大值为. 12分- 10 - 版权所有高考资源网
