1、第5讲基本不等式1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号(3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最小值是 (简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当 时，xy有最大值是 (简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号 考点1 利用基
2、本不等式求最值名师点睛1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量
3、之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解但应注意保留元的范围 典例1.（2022河北高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（）A8B6C4D22（2022湖南湖南二模）函数的最小值为（）A3B2C1D03（多选）（2022河北石家庄二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（）A上的最小值为2B的最大值为1C的最大值为4D的最小值为4.2021河南平顶山模拟若对于任意x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()A BC D举一反三1（2022山西怀仁市第一中学校二模（文）函数的最小值为（）A8B7C6D52（20
4、22安徽高三阶段练习（文）已知，则的最小值是（）A1B2C4D63（2022全国模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（）A40BC42D4（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD65（多选）（2022河北保定一模）下面描述正确的是（）A已知，且，则B函数，若，且，则的最小值是C已知，则的最小值为D已知，则的最小值为6（多选）（2022重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（）ABCD7（2022天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为_，此时_8（2022浙江镇海中学模拟预测）已知，则的最小
5、值为_.9（2022天津大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是_.10（2022天津河北一模）已知，且，则的最大值为_.11（2022全国高三专题练习）已知，求 的最小值； 考点2 利用基本不等式证明不等式名师点睛证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性典例（2022全国高三专题练习）已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.举一反三1（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）已知a，b，c为正数.(1)求的最小
6、值；(2)求证：.2（2022陕西西安工业大学附中高三阶段练习（文）已知.(1)若，求的最小值；(2)求证：.3（2022河南开封二模（文）已知，且abc=1.(1)求证：；(2)若a=b+c，求a的最小值.4（2022全国高三专题练习）已知正数，满足(1)求的最大值；(2)证明： 考点3 基本不等式中的恒成立问题名师点睛1已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()A BC D答案A解析由x0，令tx，则t22，当且仅当x1时，t取得最小值2.取得最大值，所以对于任意的x0，不等式a恒成
7、立，则a.举一反三1（2022山西怀仁市第一中学校二模（文）函数的最小值为（）A8B7C6D5【答案】D【解析】因为，所以3x10，所以，当且仅当，即x =1时等号成立，故函数的最小值为5故选：D2（2022安徽高三阶段练习（文）已知，则的最小值是（）A1B2C4D6【答案】C【解析】解：因为，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C3（2022全国模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（）A40BC42D【答案】D【解析】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D4（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD6【答案】B【解
8、析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.5（多选）（2022河北保定一模）下面描述正确的是（）A已知，且，则B函数，若，且，则的最小值是C已知，则的最小值为D已知，则的最小值为【答案】AC【解析】对于选项A，当且仅当时取等号，A正确；对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；对于选项D，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，故选：AC6（多选）（2022重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（）ABCD【答案】AB【解析】对于A：因为，所以，
9、当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.所以成立.故B正确；对于C：因为，所以，所以.记，则，所以，所以，即.故C错误；对于D：因为所以.故D错误.故选：AB7（2022天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为_，此时_【答案】 【解析】,为正实数, 且,当且仅当 即，时取“=”故答案为:8（2022浙江镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为_.【答案】9【解析】，当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.故答案为：99（2022天津大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是_.【答案】【解析】解：，所以，当且仅当，
10、即时取等号；所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当、时取等号；故答案为：10（2022天津河北一模）已知，且，则的最大值为_.【答案】【解析】.因为，且，所以，当且仅当即时取等.所以.，即的最大值为.故答案为：.11（2022全国高三专题练习）已知，求 的最小值；【答案】【解析】由 .所以，当且仅当时等号成立，综上，的最小值为. 考点2 利用基本不等式证明不等式名师点睛证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的
11、普遍性典例（2022全国高三专题练习）已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.【解】(1)，都是正数，当且仅当“”时等号成立，.(2)，当且仅当“”时等号成立，.举一反三1（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.【解】(1)因为，当且仅当“”时等号成立，所以当时，的最小值为.(2)因为，同理，所以三式相加得，所以，当且仅当“”时等号成立2（2022陕西西安工业大学附中高三阶段练习（文）已知.(1)若，求的最小值；(2)求证：.【解】(1)因为，所以，又，所以，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.(2)因为，所以，由，同向不等式相加可
12、得：，当且仅当，即时取等号.即成立.3（2022河南开封二模（文）已知，且abc=1.(1)求证：；(2)若a=b+c，求a的最小值.【解】(1)，当且仅当时等号成立.(2)依题意，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以的最小值为，此时.4（2022全国高三专题练习）已知正数，满足(1)求的最大值；(2)证明：【解】(1)由，当且仅当时，取得等号又，所以故当且仅当时，取得最大值1(2)证明：要证，需证因为，即，当且仅当时取得等号故 考点3 基本不等式中的恒成立问题名师点睛1已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0，(x2 018
13、1)(1x2x4x2 016) 2(222)2 018x2 017，当且仅当x1时等号成立，因此实数解的个数为1.3（2022广东高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（）（精确到1米）A8米B9米C10米D11米【答案】C【解析】由题意知，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.故选：C.举一反三1
14、（2022北京101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）A30B60C900D1800【答案】B【解析】 ，当且仅当，即当时等号成立.所以f（Q）的最小值是60.故选：B.2（多选）（2022重庆模拟预测）已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（）ABCD的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为，两边同除得，故A正确；由均值不等式解得当且仅当时取等号，所以，故B正确；，由，所以，所以得，故C正确；，由且在上单调递增，所以的最小值为，故D错误故选：ABC3（2021全国高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么当_时，矩形花坛的面积最小，最小面积为_.【答案】 4 48【解析】解：设，则，则，则，当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.故答案为：4；48.
