1、课时规范练47圆的方程基础巩固组1.(2021北京海淀二模)已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是()A.3B.2C.-1D.-32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.23.(2021江苏盐城滨海中学一模)已知a,b都是实数,那么“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为()A.12B.1C.2D
2、.45.(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则|PA+PB|的最大值为()A.26+2B.26+4C.226+4D.226+26.(2020全国,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若ACBC=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.48.如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a0)上总存在一点到原点的距离为3,则实数a的取值范围
3、为()A.2,2B.2,22C.1,2D.1,229.(2021广东珠海一模)若方程x2+y2+xy+2kx+4y+5k+=0表示圆,则k的取值范围为.10.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.11.设点P是函数y=-4-(x-1)2图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(aR),则|PQ|的最小值为.综合提升组12.(2021吉林省吉林市三模)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3
4、)2+(y-1)2=113.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.714.(2021陕西安康三模)关于圆M:(x-3k)2+(y-4k-2)2=1+k2有如下四个命题:若圆M与y轴相切,则k=24;圆M的圆心到原点的距离的最小值为65;若直线y=x平分圆M的周长,则k=2;圆M与圆(x-3k)2+y2=4k2可能外切.其中所有真命题的序号是.创新应用组15.(2021江苏四市调研一)过抛物线y2=2x上一点P作圆C:x2+(y-6)2=1的切线,切点为A,B,则当四边形PACB的面积最小时,点P的坐标是()A.(1,2)B
5、.32,3C.(2,2)D.52,516.(2021安徽淮北一模)过圆x2+y2=16上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆x2+y2=4内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为()A.B.32C.2D.317.(2020安徽安庆三环高中月考)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.答案：课时规范练1.C解析:方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C.2.A解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=
6、4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为|a+4-1|a2+1=1,解得a=-43.故选A.3.A解析:方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a0,即a-1,由a2能推出a-1,反之不成立,故“a2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.4.C解析:由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂直时,弦最短,则最短弦长为232-(3-1)2+(0-2)2=2.5.C解析:取AB的中点D(2,-3),则PA+PB=2PD,|PA+PB|
7、=|2PD|,|PD|的最大值为圆心C(1,2)与D(2,-3)的距离d再加半径r,又因为d=1+25=26,所以d+r=26+2.所以|2PD|的最大值为226+4.即|PA+PB|的最大值为226+4.故选C.6.A解析:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC=(x+a,y),BC=(x-a,y),由ACBC=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.7.B解析:由(x-3)2+(y-4)2=1,知圆上点P(x0,y0)可化为x0=3+cos,y0=4+s
8、in.APB=90,即APBP=0,(x0+m)(x0-m)+y02=0,m2=x02+y02=26+6cos+8sin=26+10sin(+)其中tan=34,4m6,即m的最大值为6.故选B.8.B解析:(x-a)2+(y-a)2=1(a0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a0)上总存在一点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d2,4,即22a42a22,故选B.9.(-,1)(4,+)解析:根据题意,若方程x2+y2+xy+2kx+4y+5k+=0表示圆,则=0,方程为x2+y2+2kx+4y+5k=0,即(x+k)2+(y+2
9、)2=k2-5k+4,必有k2-5k+40,解得k4,即k的取值范围为(-,1)(4,+).10.x2+y2-2x=0解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则F=0,1+1+D+E+F=0,4+0+2D+F=0,解得D=-2,E=0,F=0,所以圆的方程为x2+y2-2x=0.11.5-2解析:函数y=-4-(x-1)2的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则x=2a,y=a-3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=|1-20-6|12+(-2
10、)2=52,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,作出图象如图所示,因此|PQ|的最小值是5-2.12.A解析:设圆心坐标为(a,b)(a0,b0),由圆与直线4x-3y=0相切,得|4a-3b|5=r=1,即|4a-3b|=5,又圆与x轴相切,得|b|=r=1,解得b=1或b=-1(舍去),把b=1代入得,4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-12(舍去),圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A.13.A解析:设圆心C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3
11、,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1|OM|=32+42=5,所以|OC|5-1=4,当且仅当点C为线段OM与圆M的交点时,取得等号,故选A.14.解析:对于,由圆M与y轴相切,得|3k|=1+k2,解得k=24,即正确;对于,|OM|=(3k)2+(4k+2)2=(5k+85)2+362565,当k=-825时取等号,即正确;对于,因为直线y=x平分圆M的周长,所以直线过圆心,即3k=4k+2,即k=-2,即错;对于,由圆M与圆(x-3k)2+y2=4k2外切,得|4k+2|=|2k|+1+k2,解得k=-4-73,即正确.故答案为.15.C解析:设Pa22,a,由圆的方程可得圆心C
12、(0,6),半径r=1,|PC|=a44+(a-6)2=a44+a2-12a+36,设y=a44+a2-12a+36,y=a3+2a-12=(a-2)(a2+2a+6),当a2时,y0,函数y=a44+a2-12a+36单调递增,当a2时,y0,函数y=a44+a2-12a+36单调递减,所以当a=2时ymin=244+22-122+36=20,S四边形PACB=2SPAC=212|PA|AC|,要使四边形PACB的面积最小,而|AC|为定值r=1,|PA|=|PC|2-|AC|2,所以|PC|最小时即可,此时a=2,即P(2,2),故选C.16.A解析:如图,过圆x2+y2=16上的动点P作
13、圆x2+y2=4的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则|OP|=4,|OA|=|OB|=2,|PB|=|PA|=|OP|2-|OA|2=23,则sinOPA=|OA|OP|=12,且OPA为锐角,所以OPA=30,同理可得OPB=30,所以APB=60,则APB为等边三角形,连接OP交AB于点M,则M为AB的中点,所以OMAB,且OAB=90-PAB=30,所以|OM|=12|OA|=1,若圆x2+y2=4内的点不在任何切点弦上,则该点到圆x2+y2=4的圆心的距离应小于|OM|,即圆x2+y2=4内的这些点构成了以原点为圆心,半径为1的圆的内部,所以圆x2+y2=4内不在任何切点弦上的点形成的区域面积为12=.故选A.17.125解析:根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N,则N(3,4),PQ为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又由|PQ|=|PO|,可得|PN|2=|PO|2+1,即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,整理,得6m+8n=24,即点P在直线6x+8y=24上,则|PQ|的最小值即为点O到直线6x+8y=24的距离,且d=|60+80-24|62+82=125,即|PQ|的最小值是125.
