1、课时规范练37数学归纳法1.是否存在正整数m,使得对任意正整数n,f(n)=(2n+7)3n+m都能被36整除?若存在,求出m的最小值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.2.已知数列an的首项a1=3,an+1=2an+1(nN*).(1)写出数列an的前5项,并归纳猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的通项公式.3.平面内有n(n2)个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,记这n个圆的交点个数为f(n),猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.4.已知数列an的各项均为正数a1+a2+an=Sn,S1S2Sn=Tn,且Sn+Tn=1
2、,nN*,求数列1an前10项的和.答案：课时规范练1.解:由f(n)=(2n+7)3n+m,得f(1)=27+m,f(2)=99+m,所以27+m=36,99+m=336,由此猜想m=9.下面用数学归纳法证明,(1)当n=1时,显然成立.(2)假设当n=k(kN*)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.则当n=k+1时,2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n
3、+7)3n+9能被36整除,m的最小值为9.2.(1)解:a1=3;a2=2a1+1=7;a3=2a2+1=15;a4=2a3+1=31;a5=2a4+1=63.由此归纳猜想出数列an的通项公式为an=2n+1-1.(2)证明当n=1时,a1=21+1-1=3,显然成立.假设当n=k(kN*)时猜想成立,即有ak=2k+1-1,则ak+1=2ak+1=2(2k+1-1)+1=2k+2-1=2(k+1)+1-1.显然,当n=k+1时猜想也成立.故an=2n+1-1.3.解:当n=2时,f(2)=2=12,当n=3时,f(3)=2+4=6=23,当n=4时,f(4)=6+6=12=34,当n=5时
4、,f(5)=12+8=20=45,猜想f(n)=n(n-1)(n2,nN*).下面用数学归纳法给出证明:当n=2时,f(2)=2=2(2-1),猜想成立.假设当n=k(k2,kN*)时猜想成立,即f(k)=k(k-1),则当n=k+1时,其中任意1个圆与其余k个圆各有两个交点,而由假设知这k个圆有f(k)个交点,所以这k+1个圆的交点个数f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2k=k2+k=(k+1)(k+1)-1,即当n=k+1时猜想也成立.由知f(n)=n(n-1)(n2,nN*).4.解:由S1S2Sn=Tn,Sn+Tn=1,所以S1S2Sn=1-Sn.当n=1时,S1=12,当n=2时,S2=23,当n=3时,S3=34,所以猜想Sn=nn+1,则S1S2Sn=Tn=1n+1(nN*).用数学归纳法证明:当n=1时,左边=12=右边,猜想成立.假设当n=k(kN*)时,猜想成立,即S1S2Sk=1k+1,则当n=k+1时,左边=S1S2SkSk+1=1k+1k+1k+2=1k+2=Tk+1,所以对任意的nN*,Sn=nn+1,所以an=Sn-Sn-1=1n(n+1)(n2),当n=1时,a1=12符合上式,所以an=1n(n+1),则1an=n(n+1),nN*,所以数列1an前10项的和为12+23+1011=440.3
