1、课时规范练14导数的概念及运算基础巩固组1.(2021山西临汾一模)曲线f(x)=x2+2ex在点(0,f(0)处的切线方程为()A.x+2y+2=0B.2x+y+2=0C.x-2y+2=0D.2x-y+2=0答案:D解析:f(x)=x2+2ex的导数为f(x)=2x+2ex,则在点(0,f(0)处的切线的斜率为f(0)=2,且切点为(0,2),则切线的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0.2.(2021江西宜春模拟)已知函数f(x)=x3-f(1)x2+2的导数为f(x),则f(x)的图像在点(2,f(2)处的切线的斜率为()A.-8B.8C.12D.16答案:B解析:因为f(x)=3x2
2、-2f(1)x,令x=1,得f(1)=3-2f(1),所以f(1)=1,所以f(x)=3x2-2x,f(x)的图像在点(2,f(2)处的切线的斜率为f(2)=8.3.已知f(x)=14x2+sin52+x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图像是()答案:A解析:f(x)=14x2+sin52+x=14x2+cosx,f(x)=12x-sinx,函数f(x)为奇函数,排除B,D.又f2=4-10,排除C.故选A.4.(2021河南新乡三模)已知函数f(x)=x4+ax,若limx0f(2x)-f(-x)x=12,则a=()A.36B.12C.4D.2答案:C解析:根据题意,f(x)=x4
3、+ax,则f(x)=4x3+a,则f(0)=a,若limx0f(2x)-f(-x)x=12,则limx0f(2x)-f(-x)x=3limx0f(2x)-f(-x)3x=3f(0)=12,则有3a=12,即a=4.5.(2021湖南岳阳模拟)函数f(x)的图像如图所示,则下列数值排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)-f(2)B.0f(3)f(3)-f(2)f(2)C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3)答案:B解析:如图所示,f(2)是函数f(x)的图像在x=2(即点A)处切线的斜率k1,f(3)是函数f(x)的图像在x=3(即点B)处切线的斜
4、率k2,f(3)-f(2)3-2=f(3)-f(2)=kAB是割线AB的斜率.由图像知,0k2kABk1,即0f(3)f(3)-f(2)0时,f(x)0且其导数f(x)0时,f(x)0,且f(x)=-1x20,符合题意.8.已知函数f(x)=13x3-4x,x0,-1x-lnx,0x1,若f(a)=12,则实数a的值为.答案:14或-4解析:由题意得f(x)=x2-4,x0,1x2-1x,0x1,因为f(a)=12,所以0a1,1a2-1a=12或a0,函数在(0,+)上是递增的,所以b=ln1b,即b=-lnb,又因为f(b)=0,所以f(b)=eb-lnbb-1b+a=0,解得a=-1.1
5、5.(2021云南红河三模)丹麦数学家琴生在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义:函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),若在(a,b)上f(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上的“严格凸函数”,称区间(a,b)为函数f(x)的“严格凸区间”.则下列正确说法的序号为.函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+)上为“严格凸函数”;函数f(x)=lnxx的“严格凸区间”为(0,e32);函数f(x)=ex-m2x2在(1,4)为“严格凸函数”,则m的取值范围为e,+).答案:解析:f(x)=-x3+3x2+2的导函数f(x)=
6、-3x2+6x,f(x)=-6x+6,故f(x)0在(1,+)上恒成立,所以函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+)上为“严格凸函数”,所以正确;f(x)=lnxx的定义域为(0,+)且导函数f(x)=1-lnxx2,f(x)=2lnx-3x3,由f(x)0可得2lnx-30,解得x(0,e32),所以函数f(x)=lnxx的“严格凸区间”为(0,e32),所以正确;f(x)=ex-m2x2的导函数f(x)=ex-mx,f(x)=ex-m,因为f(x)在(1,4)为“严格凸函数”,故f(x)0在(1,4)上恒成立,所以ex-mex在(1,4)上恒成立,故me4,所以不正确.创新应用组16.
7、(2021浙江杭州二中模拟)函数f(x)=ax+sin x的图像上存在两条相互垂直的切线,则实数a的取值范围是()A.0,1B.0C.0,1)D.1,+)答案:B解析:因为f(x)=ax+sinx,所以f(x)=a+cosx,因为函数f(x)=ax+sinx的图像上存在两条相互垂直的切线,所以不妨设在x=x1和x=x2处的切线互相垂直,则(a+cosx1)(a+cosx2)=-1,即a2+(cosx1+cosx2)a+cosx1cosx2+1=0,因为a的值一定存在,即方程一定有解,所以=(cosx1+cosx2)2-4(cosx1cosx2+1)0,即(cosx1-cosx2)24,解得co
8、sx1-cosx22或cosx1-cosx2-2,又因为|cosx|1,所以有cosx1=1,cosx2=-1或cosx1=-1,cosx2=1,=0,所以方程变为a2=0,所以a=0.故选B.17.已知a-ln b=0,c-d=1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值是()A.1B.2C.2D.22答案:C解析:设(b,a)是曲线C:y=lnx上的点,(d,c)是直线l:y=x+1上的点,则(a-c)2+(b-d)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方.对函数y=lnx求导得y=1x,令y=1,得x=1,则y=0,所以曲线C上到直线y=x+1的距离最小的点为(1,0),该点到直线y=x+1的距离为|1-0+1|12+(-1)2=2.因此(a-c)2+(b-d)2的最小值为(2)2=2.
