1、#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页(共 6 页)1 2023 学年第一学期浙南名校
2、联盟第一次联考 高三年级数学学科参考答案 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案ADBACBCD二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题 目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.2 14.-8 15.5 16.6459,4813 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:(1)设等差数列na的首项为
3、1a,公差为d,由题:=+=+,83,3010511dada解得21=da 3 分(列出方程组得 2 分,结果 1 分)所以nnSnann+=2,2;5 分(通项公式和前 n 项和各 1 分)(2)由(1)知nnnb42=,则+=+=+)44241(24)44241(21322nnnnnTnT.两式相减得:)444441(23132+=nnnnT7 分(两式列式正确得 1 分,相减结果正确 1 分)即有44)13(921+=+nnnT 10 分(结果正确 3 分,错误 0 分,但形式可以不唯一)题号 9101112答案 BCDBDACDBC#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCE
4、AQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页(共 6 页)2 18.解:(1)由)sin()sin(ACbBAc=得:)sincoscos(sin)sincoscos(sinACACbBABAc=(和差公式正确得 1 分)则CabAbcAbcBcacoscoscoscos=(利用正弦定理角化边正确得 1 分)则AbcCabBcacos2coscos=+则2222acb=+,4 分(余弦定理应用正确得 1 分,结果正确 1 分)又bca=2,则212cos222=+=bcacbA 所以3=A;6 分(结果正确 2 分,错误 0 分)(2)由(1)得82222=+ac
5、b 所以5422cos2222=+=bcabcacbA 所以52=bc,8 分由,82)(222=+=+bccbcb 10 分,c,bcb1313)(2=+=+11 分 则213C+=+=cbaC AB 12 分 19.解:(1)由已知得:抽取一次碳含量在之内的概率为 0.9974,所以0257.09743.019974.01)0(1)1(10=XPXP,3 分()0(=XP正确 1 分,)0(1)1(=XPXP1 分,结果 1 分)又碳含量在之外的概率为 0.0026,故6)B(10,0.002X 5 分 因此026.0)(=XE;6 分(结果正确给 3 分)(3,3)+(3,3)+#QQA
6、BCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页(共 6 页)3(2)由011.0317.0=sx,得,的估计值为317.0=,011.0=,所以)350.0,284.0()3,3(=+,7 分 由所测数据可以看出 10 次抽检的碳含量均在之内,因此不需对当天的生产过程进行检查 9 分若去掉1x,剩下的数据的标准差21212219)(910+=xxs.12 分(结果正确 3 分,错误 0 分)20.解:(1)由三棱台可知:延长111,CCBBAA交于点 P,连接 PE,延长交 BC 于 F,并连接 AF,易得三棱锥ABCP
7、为正四面体,且PFBCAFBC,,2 分(根据情况给 1 分、2 分,只要有点对,不能全扣)所以BC平面 APF,所以DEBC,又因为1BBDE,所以11CBCBDE平面,所以PFDE,4 分(根据情况给 3 分、4 分,只要有点对,不能全扣)在 APF中,23,3,2=PEAFPFPA,则,332cos=PFAPDPE23cos=DPEPEPD,所以21=AD;6 分(根据情况给 5 分、6 分,只要有点对,不能全扣)(2)如图,以底面 ABC中心O 为坐标原点,以与 BC 平行的方向 为 x 轴,以OF 方向为 y 轴,以OP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系,(正确建坐标系给 1 分)7
8、 分 则,362,0,0,0,332,0,0,33,0,0,33,1PAFB(3,3)+ABCA1C1B1E第 20 题图DFPxyzO#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页(共 6 页)4 所以,36,63,0,66,23,0ED所以,36,63,1,66,635,1=BEBD取平面 BDE 的法向量为),(zyxm=,则=,0,0mBEmBD即为=+=+,06236,06356zyxzyx8 分(正确列出方程组 1 分)得)24,2,33(=m,9 分取平面 ABC 的法向量为)1,0,0(=n,10
9、 分所以21144|,cos=nmnmnm12 分(完整写出余弦计算公式就给 1 分,结果 1 分)所以平面 BDE 与平面 ABC 夹角的余弦值为21144.(2)方法 2:如图,延长FAED,交于G,连接1,EABG,作FAEH,BGHI,连接 EI,由(1)得:BCEH,所以EH面 ABC,所以BGEH,所以BG面 EHI,所以EIBG,所以EIH即为平面 BDE 与平面 ABC 的夹角8 分(根据情况给 7 分、8 分,只要有点对,不能全扣)在 PAF中,36=EH,9 分在GFBRT中,31338312334sin=FGBGHHI,10 分所以2431tan=HIEHEIH,11 分
10、(计算 EI 同样给分)CBAEPDA1GHIF#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页(共 6 页)5 所以21144cos=EIH.12 分(每个量EIHEIHHIEHcos,tan,给出正确计算结果分别获得 1 分)21.解:(1)由题:)0,1(F,设),(),(,1:2211yxByxAnyxAB+=,(设对直线给 1 分)代入xy42=得 0442=nyy,则有=+,4,42121yynyy 2 分所以)2,12(2nnP+,3 分故2212|2|2+=nnkOP所以直线OP 的斜率取值范围为2
11、222,;4 分(2)设),(),(4433yxDyxC,则444211311313=+=yyyyxxyykCA解得1316yy=同理,2416yy=所以),16,64(),16,64(222121yyDyyC 6 分(1 个点坐标表示正确 1 分)所以Q 点的横坐标为)12(16)(2)(32)11(322221212212221+=+=+nyyyyyyyy,7 分Q 点的纵坐标为nyy8)11(821=+,8 分所以OQ 的斜率OPOQknnk41)12(22=+=,#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第
12、 页(共 6 页)6 记OPkt=,取OQOP,的方向向量分别为),4(),1(tqtp=,故21,0,1716911614|cos222222+=+=ttttttqpqpPOQ,10 分(结果正确 2 分,错误 0 分)所以当212=t时,POQcos取到最小值为 11113.12 分(结果正确 1 分,等号成立条件正确 1 分)22.解:(1)由题:0,111111)(+=+=xaxxxaxxf,1 分(i)当1a时,0)(xf,函数在),0(+上单调递减;2 分(ii)当10 a时,0)(=xf解为aax=1,且0)(,1;0)(,1,0+xfaaxxfaax,所以函数)(xf有减区间为
13、 aa1,0,增区间为+,1aa;3 分(2)由(1)知当10 a时,)(xf有减区间为 aa1,0,增区间为+,1aa由题可知:对任意10 a,均有0)1ln(ln)1ln(1+=baaaaaaaf成立,等价于)1ln(ln)1ln(aaaaab+恒成立,令aaaaagln)1ln()1()(=,10 a 4 分(函数构造正确得分,可以不同函数)则0)11ln()(=aag,得21=a,且0)(,21;0)(,21,0+agxagx,所以)(ag在21,0上递增,在+,21上递减,5 分所以2ln21)(max=gag,所以2lnb;6 分#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQC
14、EAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页(共 6 页)7 所以当2lnb时,01 aaf,又+=+)(lim)(lim0 xfxfxx,7 分所以b 的取值范围为),2(ln+;(3)证明:两边取自然对数得,2132221321nnnnnnn2ln2ln211=nnkknk,2ln2ln11=nnknknk 8 分(有取对数等价变形就给 1 分)因为=+=+=111111111ln1lnln1lnln2nknknknknknknknknknnknknknknk10 分(有倒序求和给 1 分,配对正确给 1 分)由(2)可知:2ln)1ln()1(ln),1,0(+aaaaa,取1,2,1,=nknka,代入上式得 2ln2ln1ln1lnnnknknknk +,1,2,1=nk11 分2ln2ln)1(1ln1ln11nnnknknknknk +=,所以2ln2ln11=nnknknk,得证!12 分#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#