1、#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）1 2023 学年第一学期浙南名校
2、联盟第一次联考 高三年级数学学科参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案ADBACBCD二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.2 14.-8 15.5 16.6459,4813 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）设等差数列na的首项为
3、1a，公差为d，由题：=+=+,83,3010511dada解得21=da 3 分(列出方程组得 2 分，结果 1 分)所以nnSnann+=2,2；5 分(通项公式和前 n 项和各 1 分)（2）由（1）知nnnb42=，则+=+=+)44241(24)44241(21322nnnnnTnT.两式相减得：)444441(23132+=nnnnT7 分(两式列式正确得 1 分，相减结果正确 1 分)即有44)13(921+=+nnnT 10 分(结果正确 3 分，错误 0 分，但形式可以不唯一)题号 9101112答案 BCDBDACDBC#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCE
4、AQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）2 18.解：（1）由)sin()sin(ACbBAc=得：)sincoscos(sin)sincoscos(sinACACbBABAc=(和差公式正确得 1 分)则CabAbcAbcBcacoscoscoscos=(利用正弦定理角化边正确得 1 分)则AbcCabBcacos2coscos=+则2222acb=+，4 分(余弦定理应用正确得 1 分，结果正确 1 分)又bca=2，则212cos222=+=bcacbA 所以3=A；6 分(结果正确 2 分，错误 0 分)（2）由（1）得82222=+ac
5、b 所以5422cos2222=+=bcabcacbA 所以52=bc，8 分由,82)(222=+=+bccbcb 10 分,c,bcb1313)(2=+=+11 分 则213C+=+=cbaC AB 12 分 19.解：（1）由已知得：抽取一次碳含量在之内的概率为 0.9974,所以0257.09743.019974.01)0(1)1(10=XPXP，3 分()0(=XP正确 1 分，)0(1)1(=XPXP1 分，结果 1 分)又碳含量在之外的概率为 0.0026,故6)B(10,0.002X 5 分 因此026.0)(=XE；6 分(结果正确给 3 分)(3,3)+(3,3)+#QQA
6、BCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）3(2)由011.0317.0=sx，得，的估计值为317.0=,011.0=，所以)350.0,284.0()3,3(=+,7 分 由所测数据可以看出 10 次抽检的碳含量均在之内,因此不需对当天的生产过程进行检查 9 分若去掉1x，剩下的数据的标准差21212219)(910+=xxs.12 分（结果正确 3 分，错误 0 分）20.解：(1)由三棱台可知：延长111,CCBBAA交于点 P，连接 PE，延长交 BC 于 F，并连接 AF，易得三棱锥ABCP
7、为正四面体，且PFBCAFBC,，2 分（根据情况给 1 分、2 分，只要有点对，不能全扣）所以BC平面 APF，所以DEBC，又因为1BBDE，所以11CBCBDE平面，所以PFDE，4 分（根据情况给 3 分、4 分，只要有点对，不能全扣）在 APF中，23,3,2=PEAFPFPA，则,332cos=PFAPDPE23cos=DPEPEPD，所以21=AD；6 分（根据情况给 5 分、6 分，只要有点对，不能全扣）(2)如图，以底面 ABC中心O 为坐标原点，以与 BC 平行的方向 为 x 轴，以OF 方向为 y 轴，以OP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系，（正确建坐标系给 1 分）7
8、 分 则,362,0,0,0,332,0,0,33,0,0,33,1PAFB(3,3)+ABCA1C1B1E第 20 题图DFPxyzO#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）4 所以,36,63,0,66,23,0ED所以,36,63,1,66,635,1=BEBD取平面 BDE 的法向量为),(zyxm=，则=,0,0mBEmBD即为=+=+,06236,06356zyxzyx8 分（正确列出方程组 1 分）得)24,2,33(=m，9 分取平面 ABC 的法向量为)1,0,0(=n，10
9、 分所以21144|,cos=nmnmnm12 分（完整写出余弦计算公式就给 1 分，结果 1 分）所以平面 BDE 与平面 ABC 夹角的余弦值为21144.(2)方法 2：如图，延长FAED,交于G，连接1,EABG，作FAEH，BGHI,连接 EI，由(1)得：BCEH，所以EH面 ABC，所以BGEH，所以BG面 EHI，所以EIBG，所以EIH即为平面 BDE 与平面 ABC 的夹角8 分（根据情况给 7 分、8 分，只要有点对，不能全扣）在 PAF中，36=EH，9 分在GFBRT中，31338312334sin=FGBGHHI，10 分所以2431tan=HIEHEIH，11 分
10、（计算 EI 同样给分）CBAEPDA1GHIF#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）5 所以21144cos=EIH.12 分（每个量EIHEIHHIEHcos,tan,给出正确计算结果分别获得 1 分）21.解：（1）由题：)0,1(F，设),(),(,1:2211yxByxAnyxAB+=，（设对直线给 1 分）代入xy42=得 0442=nyy，则有=+,4,42121yynyy 2 分所以)2,12(2nnP+，3 分故2212|2|2+=nnkOP所以直线OP 的斜率取值范围为2
11、222，；4 分（2）设),(),(4433yxDyxC，则444211311313=+=yyyyxxyykCA解得1316yy=同理，2416yy=所以),16,64(),16,64(222121yyDyyC 6 分（1 个点坐标表示正确 1 分）所以Q 点的横坐标为)12(16)(2)(32)11(322221212212221+=+=+nyyyyyyyy，7 分Q 点的纵坐标为nyy8)11(821=+，8 分所以OQ 的斜率OPOQknnk41)12(22=+=，#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第
12、 页（共 6 页）6 记OPkt=，取OQOP,的方向向量分别为),4(),1(tqtp=，故21,0,1716911614|cos222222+=+=ttttttqpqpPOQ，10 分（结果正确 2 分，错误 0 分）所以当212=t时，POQcos取到最小值为 11113.12 分（结果正确 1 分，等号成立条件正确 1 分）22.解：（1）由题：0,111111)(+=+=xaxxxaxxf，1 分（i）当1a时，0)(xf，函数在),0(+上单调递减；2 分(ii)当10 a时，0)(=xf解为aax=1，且0)(,1;0)(,1,0+xfaaxxfaax，所以函数)(xf有减区间为
13、 aa1,0，增区间为+,1aa；3 分（2）由（1）知当10 a时，)(xf有减区间为 aa1,0，增区间为+,1aa由题可知：对任意10 a，均有0)1ln(ln)1ln(1+=baaaaaaaf成立，等价于)1ln(ln)1ln(aaaaab+恒成立，令aaaaagln)1ln()1()(=，10 a 4 分（函数构造正确得分，可以不同函数）则0)11ln()(=aag，得21=a，且0)(,21;0)(,21,0+agxagx，所以)(ag在21,0上递增，在+,21上递减，5 分所以2ln21)(max=gag，所以2lnb；6 分#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQC
14、EAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）7 所以当2lnb时，01 aaf，又+=+)(lim)(lim0 xfxfxx，7 分所以b 的取值范围为),2(ln+；（3）证明：两边取自然对数得，2132221321nnnnnnn2ln2ln211=nnkknk，2ln2ln11=nnknknk 8 分（有取对数等价变形就给 1 分）因为=+=+=111111111ln1lnln1lnln2nknknknknknknknknknnknknknknk10 分（有倒序求和给 1 分，配对正确给 1 分）由（2）可知：2ln)1ln()1(ln),1,0(+aaaaa，取1,2,1,=nknka，代入上式得 2ln2ln1ln1lnnnknknknk +，1,2,1=nk11 分2ln2ln)1(1ln1ln11nnnknknknknk +=，所以2ln2ln11=nnknknk，得证！12 分#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#