1、第13讲 圆锥曲线的基本问题1考题展望2012年新课标省市有关圆锥曲线模块的命题一般是“一大一小”，以一道客观题(小题)考查圆锥曲线的定义，离心率，标准方程以及几何性质，以一道解答题(大题)的某小问在直线与圆锥曲线位置关系的情境中考查圆锥曲线方程的求法同时有关双曲线的考查大都是客观题，而解答题一般涉及椭圆或抛物线预测2013年新课标命题省市将仍坚持这种命题和考查趋势2高考真题考题1(2012 江西)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_【解析】55.利用椭圆及等比数列的性质
2、解题由椭圆的性质可知：|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又已知|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，故(ac)(ac)(2c)2，即 a2c24c2，则 a25c2.故 eca 55，即椭圆的离心率为 55.【命题立意】本题着重考查等比中项的性质、椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程、转化与化归思想求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关a，c的齐次式方程，转化为只含有离心率e的方程，从而求解方程考题2(2012 全国新课标)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB|4 3
3、，则 C 的实轴长为()A.2 B2 2C4 D8【解析】选 C.设 C：x2y2a2(a0)交 y216x 的准线 l：x4 于 A(4，2 3)，B(4，2 3)，得：a2(4)2(2 3)24a22a4.【命题立意】本题主要考查利用双曲线知识、抛物线知识求解问题的能力【解析】选 C.设 C：x2y2a2(a0)交 y216x 的准线 l：x4 于 A(4，2 3)，B(4，2 3)，得：a2(4)2(2 3)24a22a4.【命题立意】本题主要考查利用双曲线知识、抛物线知识求解问题的能力考题3(2012山东)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，双曲线 x2y21 的
4、渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为()A.x28 y221 B.x212y261C.x216y241 D.x220y251【解析】选 D.双曲线 x2y21 的渐近线方程为 yx，代入x2a2y2b21(ab0)可得 x2 a2b2a2b2，S4x216，则 a2b24(a2b2)，又由 e 32 可得 a2b，则 b45b2，于是 b25，a220.椭圆方程为x220y25 1，答案应选D.【命题立意】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程和几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想【解析】选 D.双曲线 x2y21 的渐近
5、线方程为 yx，代入x2a2y2b21(ab0)可得 x2 a2b2a2b2，S4x216，则 a2b24(a2b2)，又由 e 32 可得 a2b，则 b45b2，于是 b25，a220.椭圆方程为x220y25 1，答案应选D.【命题立意】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程和几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想一、椭圆1椭圆的定义平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a；(2)2a|F1F2|.二、双曲线1双曲线的定义平面内的动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：(1)到两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常
6、数 2a；(2)2a|PF2|，则|PF1|PF2|4|PF1|PF2|2，所以|PF1|3|PF2|1.又|F1F2|2 3，由余弦定理可知 cosF1PF213.(2)已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 xy40，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，P 到直线 l 的距离为 d2，则 d1d2 的最小值为()A.5 22 2 B.5 22 1C.5 22 2 D.5 22 1D【解析】由抛物线的定义，PFd11，d1PF1,d1d2d2PF1，显然当 PF 垂直于直线 xy40时，d1d2 最小此时 d2PF 为 F 到直线 xy40 的距离为|104|1212
7、52 2.d1d2 的最小值为52 21.【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义及性质，要抓住“生成”曲线的特征问题【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义及性质，要抓住“生成”曲线的特征问题2圆锥曲线标准方程及应用例2已知抛物线 D 的顶点是椭圆x24 y231 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1)求抛物线 D 的方程；(2)已知动直线 l 过点 P(4，0)，交抛物线 D 于A、B 两点()若直线 l 的斜率为 1，求 AB 的长；()是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由【解析】(1)由题意，可设抛物线
8、方程为 y22px(p0)由 a2b2431，得 c1.抛物线的焦点为(1，0)，p2.抛物线 D 的方程为 y24x.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)()直线 l 的方程为：yx4，联立yx4y24x，整理得：x212x160 AB（11）x1x2 24x1x24 10.()设存在直线 m：xa 满足题意，则圆心M(x142，y12)，过 M 作直线 xa 的垂线，垂足为 E，设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G.可得：|EG|2|MG|2|ME|2，即|EG|2|MA|2|ME|2 （x14）2y124(x142a)2 14y12（x14）2（x14）24a(x14)a2 x
9、14x1a(x14)a2(a3)x14aa2 当 a3 时，|EG|23，此时直线 m 被以 AP为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值 2 3.因此存在直线 m：x3 满足题意【点评】在求解或应用圆锥曲线标准方程时一定要注意方程形式与焦点所在坐标轴的统一性，基本原则是“先定位，后定量”当 a3 时，|EG|23，此时直线 m 被以 AP为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值 2 3.因此存在直线 m：x3 满足题意【点评】在求解或应用圆锥曲线标准方程时一定要注意方程形式与焦点所在坐标轴的统一性，基本原则是“先定位，后定量”3圆锥曲线几何性质及应用例3如右图，以 F1(2 10，0)和F2(2 1
10、0，0)为焦点的椭圆的离心率 e2 23，它与抛物线 y243x 交于 A1，A2 两点，以 OA1，OA2 为两渐近线的双曲线上的动点 P(x，y)到定点 Q(2，0)的最小距离为 1，求此双曲线方程【解析】由已知可得椭圆方程为x245y251，解方程组x245y251y243x，得 A1(3，2)，A2(3，2)，从而可得双曲线渐近线方程为：2x3y0，又 Q(2，0)到 2x3y0 的距离为 d 4131，设其方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 a32b，方程可化为 y249x2b2.|PQ|（x2）2y2139 x24x4b2 139（x1813）21613b2 因为 P(x，
11、y)在双曲线上，所以|x|32b.当3b2 1813即 b1213时，当 x1813时，|PQ|min1613b21 得 b2 313(1213)2，所以 a294b22752，所以所求双曲线为52x227 13y23 1，当3b2 1813，即 b1213时，当 x32b 时，|PQ|min|32b2|1，得 b2，或 b230 得，2t2，所以|AB|114 3（4t2）152 4t2，所以 P 到直线 AB 的距离为 d|42t|5，SPAB 32|2t|4t212 3（2t）3（2t）(2t2)令 f(t)3(2t)3(2t)，则 f(t)12(2t)2(t1)由 f(t)0 得，t1
12、 或 2(舍)当2t0；当1t2 时，f(t)|F1F2|，而双曲线中则要求2ab0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为()A.13 B.12C.33D.22【解析】双曲线的两条渐近线 ybcx 与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则有 cb，则椭圆的离心率为 22.D1已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为()A.13 B.12C.33D.22【解析】双曲线的两条渐近线 ybcx 与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则有 cb，则椭圆
13、的离心率为 22.2已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值为()A.12B1C2 D4【解析】抛物线的准线方程为 xp2，圆心为(3，0)，半径 r4，3p24，p2.C2已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值为()A.12B1C2 D4【解析】抛物线的准线方程为 xp2，圆心为(3，0)，半径 r4，3p24，p2.3设 F1、F2 分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点，若点 P 在双曲线上，且PF1 PF2 0，则|PF1 PF2|等于()A.10 B.2 10C.5D.133B【解析】如图，由PF 1PF
14、2 0，可得PF 1PF2，又由向量加法的平行四边形法则可知 平行四边形 PF1QF2 为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1PF2|PQ|2c2 10，所以选 B.4已知 F1，F2 为椭圆x212y231 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，且|PF1|t|PF2|，则 t 的值为【解析】设 N 为 PF1 的中点，则 NOPF2，故 PF2x 轴，故|PF2|b2a 32，而|PF1|PF2|2a4 3，|PF1|7 32，故 t 的值为 7.74已知 F1，F2 为椭圆x212y231 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在
15、y 轴上，且|PF1|t|PF2|，则 t 的值为【解析】设 N 为 PF1 的中点，则 NOPF2，故 PF2x 轴，故|PF2|b2a 32，而|PF1|PF2|2a4 3，|PF1|7 32，故 t 的值为 7.5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点 F1、F2，M 为双曲线上一点，且满足F1MF290，点 M 到 x 轴的距离为72.若F1MF2 的面积为 14，则双曲线的渐近线方程为y 7x【解析】由题意，得122c7214，所以 c4.又|MF1|MF2|2a，|MF1|2|MF2|282，12|MF1|MF2|14.所以 a 2，b 14.所以渐近线方程为 y 7
16、x.6已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的长轴为 AB，直线(2k)x(12k)y(12k)0(kR)所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率 e 32.则椭圆的标准方程为x24 y21【解析】将(2k)x(12k)y(12k)0 整理得(x2y2)k2xy10 解方程组x2y202xy10得直线所经过的定点(0，1)，所以 b1.由离心率 e 32 得 a2.所以椭圆的标准方程为x24 y21.7已知抛物线 C：y24x，F 是 C 的焦点，过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点(1)求OA OB 的值；(2)设AF FB，求ABO 的面积 S 的最小值
17、【解析】(1)根据抛物线的方程可得焦点 F(1，0)，设直线 l 的方程为 xmy1，将其与 C 的方程联立，消去 x 可得 y24my40.设 A、B 点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y10y2)，则 y1y24.y124x1，y224x2，则 x1x2 116y12y221.故OA OB x1x2y1y23.(2)因为AF FB，所 以(1 x1，y1)(x2 1，y2)，即1x1x2y1y2，又 y124x1，y224x2，消去 y12，y22 后，得到x12x2.将其代入方程组，注意到 0，解得 x2 1.从而可得 y2 2，y12，故OAB 的面积 S12|OF|y1y
18、2|1.因为 12 恒成立，故OAB 的面积S 的最小值是 2.8在平面直角坐标系 xOy中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21 的左、右焦点已知F1PF2 为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足AM BM 2，求点 M 的轨迹方程【解析】(1)设 F1(c，0)，F2(c，0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即（ac）2b22c，整理得 2(ca)2ca10，得ca1(舍去)或ca12，所以 e12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为3x24y2
19、12c2，直线 PF2 的方程为 y 3(xc)A，B 两点的坐标满足方程组3x24y212c2y 3（xc）.消去 y 并整理，得 5x28cx0，解得 x10，x285c，得方程组的解x10y 1 3c，x285c，y23 35 c.不妨设 A(85c，3 35 c)，B(0，3c)设点 M 的坐标为(x，y)，则AM(x85c，y3 35 c)，BM(x，y 3c)由 y 3(xc)，得 cx 33 y.于是AM(8 315 y35x，85y3 35 x)，BM(x，3x)由AM BM 2，即(8 315 y35x)x(85y3 35 x)3x2，化简得 18x216 3xy150.将 y18x21516 3x 代入 cx 33 y，得 c10 x2516x0.所以 x0.因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 3xy150(x0)
