1、单元检测(八)立体几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设，是两个不同的平面，则的充要条件是()A平面内任意一条直线与平面垂直B平面，都垂直于同一条直线C平面，都垂直于同一平面D平面内存在一条直线与平面垂直2经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体(如图)，现将此几何体水平放置，从如图所示的方向观察该几何体(正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线)，则其正视图、侧视图、俯视图的形状分别为()A梯形、长方形、圆B三角形、长方形、圆C梯形、梯形、圆D三角形
2、、梯形、圆32021内蒙古高三二模设l、m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若，m，n，则mn；若l，且m，则lm；若mn，m，n，则.则正确的命题个数为()A4B3C2D142022河北唐山模拟某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为()A.2B3CD252022四川泸州检测在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法中正确的是()AAC与B1C是相交直线且垂直BAC与A1D是异面直线且垂直CBD1与BC是相交直线且垂直DAC与BD1是异面直线且垂直62022湖北名师联考如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1
3、的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则()A.直线EF，AO是异面直线B直线EF，BB1是相交直线C直线EF与BC1所成的角为30D直线EF，BB1所成角的余弦值为72022云南昆明模拟如图，已知PABC是直角梯形，ABPC，ABBC，D在线段PC上，ADPC.如图，将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N.对于图，下列选项错误的是()A平面PAB平面PBCBBC平面PDCCPDACDPB2AN82022怀仁市一模在矩形ABCD中，BC4，M为BC的中点，将ABM和DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若APD150，则三棱锥MPAD的
4、外接球的表面积为()A.12B34C68D12692021陕西二模刘徽九章算术注记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值21，这一结论今称刘徽原理如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A4B3CD10已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()ABCD112022江门市模拟如图，在四边形AB
5、CD中，ABBC2，ABC90，DADC，现沿对角线AC折起，使得平面DAC平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是()A.BCD12122022广东深圳调研在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，ACB90，BCPC2.若ACPB，则三棱锥PABC体积的最大值为()ABCD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)132022四川绵阳检测如图，正八面体的棱长为2，则该正八面体的体积为_14如图，四棱台A1B1C1D1ABCD的底面是正方形，DD1底面ABCD，DD1AB2A1B1，则直线AD1与BC1所成角的余弦值为_152022黑龙江齐齐
6、哈尔市模拟三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，在底面ABC中，AB2，C60，则三棱锥PABC的外接球的体积等于_162021陕西高三二模将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：AB，CD所成的角为60；ADC为等边三角形；ACBD；AB与平面BCD所成角60.其中真命题是_(请将你认为是真命题的序号都填上)三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD.(1)求证：平面PAC平面PBD；(2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF平面PDE.18(本小题
7、满分12分)如图，四边形ABEF为正方形，ADBC，ADDC，AD2DC2BC，(1)求证：点D不在平面CEF内：(2)若平面ABCD平面ABEF，且AD2，求点D到平面CEF的距离19.(本小题满分12分)如图，已知圆台O1O的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为，AA1，BB1为母线，平面AA1O1O平面BB1O1O，M为BB1的中点，P为AM上的任意一点(1)证明：BB1OP；(2)当点P为线段AM的中点时，求平面OPB与平面OAM所成锐二面角的余弦值20(本小题满分12分)2020全国卷如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内
8、接正三角形，P为DO上一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值21(本小题满分12分)如图，梯形ABCD中，ABCD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且ADDCCBBFAB2.(1)求证：平面ADE平面BFED.(2)若P为线段EF上一点，直线AD与平面PAB所成的角为，求的最大值22(本小题满分12分)2022沈阳市质量监测如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCF90，AD，BE3，CF4，EF2.(1)求证：AE平面DCF.(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？单元检测（八）立体几何1答案：D解析：若，则
9、平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面，都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面，都垂直于同一平面，则平面，可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确2.答案：B解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆3答案：D解析：根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若ml，且m，则l正确；故正确，若，m，n，则mn错误，当mn时，也满足前面条件；故
10、错误，若l，且m，则lm不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故错误，若mn，m，n，则不一定成立，有可能平行故错误，故正确的个数为1.4答案：B解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥PABCD如图所示根据三视图可得，AB1，PD2，AD2.根据立体图形可知，最长边为PB.连接DB，在RtADB中，根据勾股定理得DB2AD2AB222125，在RtPDB中，根据勾股定理得PB2PD2DB2459，所以PB3.故该几何体的最长棱的长度为3.5答案：D解析：连接AB1，则AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60，故A错误；因为A1DB1C，所以AC与A1D是异面直线
11、且所成角为60，故B错误；连接CD1，因为BC平面CDD1C1，所以BCCD1，所以BD1与BC所成角为锐角，故C错误；连接BD，B1D1，因为ACBD，ACDD1，且BDDD1D，所以AC平面BDD1B1，则ACBD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确6答案：C解析：易知四边形AEOF为平行四边形，所以直线EF，AO相交，直线EF，BB1是异面直线，直线EF，BB1所成角的余弦值为，选项C正确7答案：A解析：由ABPC，ABBC，ADPC，得ADBC.ADPD，ADDC，PDDCD，AD平面PDC.又ADBC，BC平面PDC，B正确平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，
12、PDAD，ABAD，PD平面ABCD，AB平面PAD.AC平面ABCD，PDAC，C正确由AB平面PAD，得ABPA，PAB是直角三角形又PB的中点为N，PB2AN，D正确8答案：C解析：由题意可知，MPPA，MPPD.且PAPDP，PA平面PAD，PD平面PAD，所以MP平面PAD.设ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得2r，即2r，所以r4.设三棱锥MPAD的外接球的半径为R，则（2R）2PM2（2r）2，即（2R）246468，所以R217，所以外接球的表面积为4R268.9答案：D解析：根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，
13、将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R，R，球体积为VR3.10答案：C解析：取AD中点O，连接OA1，易证A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得B（2，1，0），D1（0，2，），BD1（2，3，），平面ABCD的一个法向量为n（0，0，1），设BD1与平面ABCD所成的角为，sin，tan.11答案：A解析：如图，取AC的中点E，连接DE，BE，因为ADCD，所以DEAC，因为平面DAC平面ABC，平面DAC平面ABCAC，DE平面DAC，所以DE平面ABC，因为ABC90，所以棱锥外接球的球心O在直线DE上，因为ABBC
14、2，ABC90，DADC，所以BEAECEAC，DE2，设OEx，则OD2x，OB，所以2x，解得x，所以外接球的半径为r2x2，外接球的体积为V（）3.12答案：D解析：如图，取PB中点M，连接CM.平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AC平面ABC，ACBC，AC平面PBC.设点A到平面PBC的距离hAC2x.PCBC2，PB2x（0x2），M为PB的中点，CMPB，CM，SPBC2xx.VAPBC（x）2x.设t（0t2），则x24t2.VAPBC（0t2）.对y，0t0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0），D（0，0，a）.（1）因为（0，3，a），（，0，0），（0，4，0），（0，0，a），所以0，0，又CDCFC，所以CB平面CDF，即为平面CDF的一个法向量又0，所以CBAE，又AE平面CDF，所以AE平面DCF.（2）设n（x，y，z）与平面AEF垂直，（0，3，a），（，1，0），由得可取n.因为BA平面BEFC，所以为平面BEFC的一个法向量，又（0，0，a），所以|cosn，|，得a.所以当AB时，二面角AEFC的大小为60.
