1、专练43高考大题专练(四)立体几何的综合运用12022全国甲卷(文)，19小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直(1)证明：EF平面ABCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).2.2021全国甲卷已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，BFA1B1.(1)求三棱锥FEBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE.3.2022四川师范大学考试如图，在四棱
2、锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB上的一点，且PEPB，F为线段BC上的动点，(1)当为何值时，平面AEF平面PBC，并说明理由；(2)若PA2，BC3，平面AEF平面PBC，VEABFVPABCD16，求出点B到平面AEF的距离42022全国乙卷(文)，18如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积52020全国卷如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，
3、APC90.(1)证明：平面PAB平面PAC；(2)设DO，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积专练43高考大题专练(四)立体几何的综合运用1解析：方法一(1)证明：过点E作EEAB于点E，过点F作FFBC于点F，连接EF，如图(1).平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB，EE平面EAB，EE平面ABCD.同理FF平面ABCD，EEFF.易得EEBFFB，EEFF，四边形EEFF是平行四边形，EFEF.又EF平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD.(2)过点G，H分别作GGCD于点G，HHDA于点H，连接FG，GH，HE，AC，如图(1).由(1)及题意，可知E，F，
4、G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，四棱柱EFGHEFGH为长方体故该包装盒可看作由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成由底面ABCD是边长为8cm的正方形，可得EFEHAC4cm.在正三角形ABE中，易得EE4cm.所求包装盒的容积VVEFGHEFGH4VAEEHHEFEHEE4EHEEAC4444448(cm3).方法二(1)证明：四边形ABCD是正方形，EAB和FBC是正三角形，分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EKAB，FIBC，如图(2).平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB，EK平面EAB，EK平面ABCD.同理FI平面ABCD，EKFI.易
5、知EABFBC，EKFI，四边形EKIF是平行四边形，EFKI.又EF平面ABCD，KI平面ABCD，EF平面ABCD.(2)可补形成长方体，如图(2)，易得长方体的高为4cm.故所求包装盒的容积V8244424(cm3).2解析：(1)如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EMAB，ABBC2，CF1，EMAB1，ABA1B1，由BFA1B1得EMBF，又EMCF，BFCFF，所以EM平面BCF，故V三棱锥FEBCV三棱锥EFBCBCCFEM211.(2)连接A1E，B1M，由(1)知EMA1B1，所以ED在平面EMB1A1内在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，
6、所以由平面几何知识可得BFB1M，又BFA1B1，B1MA1B1B1，所以BF平面EMB1A1，又DE平面EMB1A1，所以BFDE.3解析：(1)当时，平面AEF平面PBC，理由如下：因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，因为ABCD为矩形，所以ABBC，又PAABA，所以BC平面PAB.因为AE平面PAB，所以AEBC.因为PEPB，所以E为线段PB的中点，又因为PAAB，所以AEPB，又PBBCB，所以AE平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC.(2)因为平面AEF平面PBC，由(1)可知E为PB的中点，因为PA底面ABCD，所以点E到底面ABCD的距离
7、为PA1，所以VEABF(2BF)1，因为VEABFVPABCD16，所以，所以BF2，VEABF4，PA平面ABCD，AB平面ABCD，则PAAB，同理可知BFBE，PAAB2，E为PB的中点，则AEBEPA，EF，所以SAEF，设点B到平面AEF的距离为d，由VBAEFVEABF得d，解得d.4解析：(1)证明：ADCD，ADBBDC，BDBD，ABDCBD，ABCB.E为AC的中点，DEAC，BEAC.DEBEE，DE，BE平面BED，AC平面BED.AC平面ACD，平面BED平面ACD.(2)如图，连接EF.在ABC中，由ABBC2，ACB60可知，AC2，BE，ADCD，E为AC的中
8、点，DEAC1.又BD2，DE2BE2BD2，DEBE，由(1)知ABDCBD，AFCF.又E为AC的中点，EFAC.当ACF的面积最小时，EFBD.SBDEBEDEBDEF，EF，BF.方法一：VFABCVABEFVCBEF2VABEF21.方法二：BFBD34.VFABCVDABC21.5解析：(1)由题设可知，PAPBPC.由于ABC是正三角形，故可得PACPAB，PACPBC.又APC90，故APB90，BPC90.从而PBPA，PBPC，故PB平面PAC，又PB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl，l2r22.解得r1，l.从而AB.由(1)可得PA2PB2AB2，故PAPBPC.所以三棱锥PABC的体积为PAPBPC()3.
