1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。86空间直线、平面的垂直86.1直线与直线垂直观察下面两个图形【问题1】教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？【问题2】六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？【问题3】六角螺母中直线AB与BE所成角是多少度？怎样定义空间中直线AB与CD所成的角？1异面直线所成的角(1)定义：已知异面直线a，b，经过空间中任意一个点O分别作直线aa，bb，我们把直线a，b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)图示：
2、(3)规定：当两直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为0；(4)范围：090平面内两条相交直线所成角的定义是什么？提示：两直线相交，所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角2两条异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线互相垂直，记作ab.异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？提示：相同点是所成的角都是90，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a，b所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关(2)转化求角：异
3、面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直1相互垂直的两条直线一定是相交直线吗？2如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线与另一条直线垂直吗？3在ABC中，角A120，那么与边AB，AC平行的异面直线所成的角是120吗？提示：1.不一定，也可能是异面直线；2.垂直；3.不是，所成的角是60.观察教材P147图8.63，直线BA与直线DC所成的角是多少？提示：90.1已知空间中的三条直线a，b，c满足ac且bc，则直线a与直线b的位置关系是()A平行 B相交C.异面 D平行或相
4、交或异面【解析】选D.如图，在长方体AC1中，ABAD，ABA1D1，ADA1D1，ABAD，ABAA1，ADAA1A，ABAD，ABCC1，AD与CC1异面，所以，垂直于同一直线的两条直线可平行，可相交，也可异面2如图正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A.30 B45 C60 D90【解析】选C.连接BC1，A1C1(图略)，因为BC1AD1，所以异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，所以A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成角为60.基础类型一求异面直线所成的角(直观想象、数学运算)1(20
5、21哈尔滨高一检测)如图，点M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是()A B C D【解析】选A.如图，连接AD1，D1M.因为ABC1D1，ABC1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1BC1，则D1AM为异面直线AM与BC1所成角，设正方体的棱长为2，则AD12，AMD1M.所以cos D1AM.即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是.2将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是()A.30 B45 C60 D
6、120【解析】选C.如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，EFG为正三角形，因为ABEG，CDEF，所以GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角，因为EFG为正三角形，所以GEF60.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AC3，AB5，AA14，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值【解析】如图连接BC1，与B1C交于点O，则O为B1C的中点，取AB的中点D，连接CD，OD，所以ODAC1，ODAC1，所以COD或其补角为异面直线AC1与B1C所成角，因为直三棱柱ABCA1B1C1，且ACBC，AC3，AB5，AA14，所以AC15，所以ODAC1，OCB1C2
7、，CDAB，所以由余弦定理知，cos COD，所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.异面直线所成的角的求法(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移，使两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角微提醒：根据空间中角的直观图无法直接判断角是锐角、直角、钝角，因此作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是其补角基础类型二异面直线互相垂直的证明(逻辑推理)【典例】(2021济南高一检测)如图，在正方体AB
8、CDABCD中，BB的中点为M，CD的中点为N，求证：AMDN.【证明】取CC中点M，连接DM，则AMDM，由DCMDDN，可知CDMDDN，因为CDMDNDDDNDND90，所以DMDN，所以AMDN，所以异面直线AM与DN所成的角为90.所以AMDN.【备选例题】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，求证：ACBC1.【证明】如图，连接A1B，设A1C1a，B1C1b，AA1h，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1C1A1AB90，所以BCb2h2，AB2a2b2，所以A1B2a2b2h2，所以A1B2A1CBC，则A1C1BC1，即A1C1B90.又因为ACA1C1，
9、所以A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以ACBC1.证明两异面直线垂直的步骤(1)作出两异面直线所成的角(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系(3)结论如图，正方体ABCDA1B1C1D1，求证：ACB1D.【证明】如图，连接BD，交AC于O，取BB1的中点E，连接OE，则OEDB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角连接AE，CE，易证AECE，又O是AC的中点，所以ACOE，所以ACB1D.综合类型异面直线所成角及其应用(逻辑推理)补形法求异面直线所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AB的中点，点N是BB1的中点，(1)异面直线DB
10、1和CM所成的角的余弦值为_【解析】将正方体ABCD A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，连接CE1，ME1.因为DB1CE1，所以MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a.在三角形MCE1中，CMa，CE1a，ME1a，那么cos MCE1.答案：(2)异面直线DN和CM所成的角的余弦值为_【解析】将正方体ABCD A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个长方体，P为所在棱中点，连接CP，MP，DNCP，所以MCP是异面直线DN与CM所成角(或其补角)，设正方体棱长为a.在三角形MCP中，CMa，CPa，MPa，那么cos MCP.
11、答案：关于补形作异面直线所成的角当不方便作异面直线所成角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如将三棱锥或四棱锥补成一个正方体(或长方体).已知异面直线所成的角求值【典例】如图，在四面体ABCD中，ACBDa，对棱AC与BD所成的角为60，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为_【解析】取BC的中点E，连接EN，EM，因为M为AB的中点，所以MEAC，且MEAC，同理得，ENBD，且EN，所以MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，在MEN中，EMEN，若MEN60，则MEN为等边三角形，所以MN.若MEN120，
12、可得MNa.答案：或a本例的条件不变，求异面直线AC与MN所成的角【解析】取BC的中点E，连接EN，EM，因为M为AB的中点，所以MEAC，且MEAC，同理得，ENBD，且EN，所以EMN或其补角为异面直线AC与MN所成的角，在MEN中，EMEN，若MEN60，则MEN是等边三角形，所以EMN60；若MEN120，则MEN是等腰三角形，所以EMN30.所以异面直线AC与MN所成的角是30或60.关于异面直线的应用当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是其补角，应分情况讨论1下列说法正确的个数是()若直线a，b异面，b，
13、c异面，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.A3 B2 C1 D0【解析】选C.中a与c的位置关系不确定，中a与c也可能相交或异面，正确2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A.45 B60 C90 D120【解析】选B.连接A1B，BC1，A1C1，因为E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点所以A1BEF，BC1GH.所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，知A1BC1为正三角形，故A1BC160.3如图，正方体ABCDA1B
14、1C1D1中，M为C1D1中点，则BM与AC所成角的余弦值为()A. B C D【解析】选D.取A1D1的中点N，连接BN，MN，A1C1，A1B，则MNA1C1AC，所以BMN(或其补角)即为异面直线BM与AC所成的角，不妨设AB2，则MNA1C1，BN2A1N2A1B29，所以BN3，同理可得，BM3，在BMN中，由余弦定理得，cos BMN.所以异面直线BM与AC所成的角的余弦值为.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有_【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.答案：AB，A1B15如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_【解析】如图，连接BC1，A1C1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cos A1BC1.答案：关闭Word文档返回原板块
