1、四川省南充高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.为虚数单位，复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案【详解】由题意得，所以复数的虚部是故选B【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( ) A. 5B. 4C. 6D. 9【答案】C【解析】【分析】由杨辉三角形中，各数值
2、等于其“肩数”之和，求得答案.【详解】杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，所以a=3+3=6.故选：C【点睛】本题考查杨辉三角中数据的特征，属于基础题.3.点的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，点的直角坐标是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的关系互化即可.【详解】由极坐标与直角坐标的关系可知，其极坐标对应的直角坐标为，故点的直角坐标为，故选：A【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题.4.已知数列满足，若，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由递推关系证得该数列是等比数列并可求公比，再
3、由等比数列性质与已知即可求得答案.【详解】由题可知，则，所以数列是以为公比的等比数列，则，所以.故选：D【点睛】本题考查由递推关系求等比数列的公比，还考查了由等比数列性质求值，属于基础题.5.已知命题为，则命题的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果.【详解】由含全称量词的否定的定义可得命题的否定为：，.故选：.【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.6.在三棱锥中，且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥
4、的外接球体积转化为该正方体的外接球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计算即可.【详解】在三棱锥中有两两互相垂直，且，则可将其补全为一个边长为2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥的外接球，设该外接球的半径为r，正方体的体对角线为，则故外接球的体积为.故选：A【点睛】本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.7.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是，故由此运算规律进行计算，当时不满足条件，退出循环，输出S的值即可【详解】解：由
5、题意，模拟执行程序，可得：，满足条件，满足条件，满足条件，不满足条件，退出循环，输出S的值为故选A【点睛】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题8.已知P是ABC所在平面内点，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的从而SPBC=SABC由此能求出将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的SPBC=
6、SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为：P=故选B【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题9.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若两点的横坐标之和为3，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线焦点弦性质求弦长即可.【详解】设直线交该抛物线的交点，坐标为，则，且抛物线的，由抛物线的焦点弦弦长性质可知，故选：C点睛】本题考查由抛物线焦点弦性质求弦长，属于基础题.10.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为( )A. B
7、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导之后由题可知其在时单调递减，再由偶函数定义证得是的定义域在上的偶函数，进而转化已知不等式，由函数的性质解不等式即可.【详解】构造函数，则，即其时，函数单调递减，又因为函数是的定义域在上的偶函数，则，故函数是的定义域在上的偶函数，故不等式，所以故选：D【点睛】本题考查常见的构造函数利用导数解不等式，还考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，属于较难题.11.已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线在第一象限的交点为，的角平分线与交于点，若，则的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线方程解析式可知其过双曲
8、线左焦点和倾斜角，由角平分线定理可表示，由离心率与双曲线定义可表示，再由的余弦定理构建方程求得参数值.【详解】因为直线方程为，则其过双曲线左焦点，且倾斜角，又因为的角平分线与交于点，且，则，因为离心率，由余弦定理可知，则，所以.故选：D【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形中求参数的值，还考查了角平分线定理与余弦定理解三角形，属于较难题.12.已知函数，若时，恒有，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.【详解
9、】因为函数，则，由题可知，对，恒有成立，令，则，当时，函数在R上单调递增，且时，不符合题意；当时，当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；所以，故，令，则，且，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，故，综上所述，的最大值为.故选：C【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，还考查了利用分类讨论求参数的最值，属于难题.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.相关变量的样本数据如表：经回归分析可得与线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，则=_. x1234y20303040【答案】5【解析】【分析】求出，把代入回归方程可得【详解】由已知，故答案为
10、：5【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握性质：线性回归直线一定过中心点是解题关键14.函数的图象在处的切线方程为，则 _；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由导数的几何意义表示切线的斜率构建方程求得a，再由切点即可求得b.【详解】设切点坐标为，函数，则，故，即又因为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题考查由导数几何意义求参数，属于基础题.15.已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，若四边形的面积的最小值为，则的值为_.【答案】3【解析】【分析】由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由表示，再由点到直线的距离公式求得最小值，最后由面积的最小值构建方程求得参数
11、.【详解】由题可知，四边形，又因为，所以四边形的面积的最小值为故答案为：3【点睛】本题考查利用直线与圆相切的位置关系转化所求面积，还考查点与直线的最小距离，属于中档题.16.已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】方程有四个不相等的实数根，即方程有四个不相等的实数根，则或有四个不相等的实数根，结合图象利用分类讨论与的根的情况，其中当时分别构造函数与分析，最后由转化思想将函数有两个零点转化为小于0构造不等式求得答案.【详解】方程有四个不相等的实数根，即方程有四个不相等的实数根，则或有四个不相等的实数根，因为函数，对方程的根分析，令，由图象分析可知
12、，当时，必有一根，当时，令，则，所以函数单调递增，故，所以当时，方程无根，故方程只有1个根，那么方程应有3个根，对方程的根分析，令，由图象分析可知，当时，必有一根，当时，方程应有2两个不等的实根，其等价于方程有2个不等的实根，令，则，且其在内有两个零点，显然当，函数单调递增，不满足条件，则；令，则函数在区间上单调递减，在区间 单调递增；所以函数在取得极小值，同时也为最小值，函数若要有两个零点，则，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了函数与方程的数学思想，还考查了由函数零点个数求参数取值范围与利用导数分析方程的根的个数，属于难题.三、解答题（共70分）17.已知命题不等式的解
13、集是. 命题函数在定义域内是增函数.若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】若命题为真命题，在一元二次不等式中由判别式求出此时参数范围；若命题为真命题，由指数函数底数大于1则函数单调递增求出此时参数范围，又因为为真命题，为假命题，所以两命题一真一假，最后分类讨论p真q假与p假q真，求出答案.【详解】若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，则，.因为 为真命题，为假命题，所以两命题一真一假（1）p真q假，则，（2）p假q真，则，综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查由逻辑联结词连接命题的真假求参数取值范围，还考查了一元二次不等式恒成立与指数函数的单调性，属于基
14、础题.18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合
15、计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.【答案】（1）6，250人；（2）（i）见解析；（ii）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各段中间值乘以各段的概率再相加即为平均值；由频率分布直方图可知“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率，将其乘以样本总量即可；（2）（i）由表格数据合计开始逐层推进，由分层抽样计算数据并求值填表；（ii）列出所有基本事件可能，再由古典概型概率计算公式求解.
16、【详解】（1）平均数. 由频率分布直方图可知“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为所以500人中“长潜伏者”的人数为人（2）（i）由题意补充后的表格如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300由合计值300减去60岁以下的合计140可得60岁以上的合计160；长潜伏者的人数为人，则短潜伏者也为150人；即短潜伏者中60岁以下的人数为150-90=60人，长潜伏者中60岁以上的人数为160-90=70人，60岁以下的人数为150-70=80人.（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，
17、从中抽取2人，共有，共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. 所以所求概率.【点睛】本题考查在频率分布直方图中求平均数，由分层抽样完善列联表，还考查了古典概型求概率问题，属于简单题.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，底面，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面ABCD，证得，再结合矩形证得平面，从而有，再由等腰三角形得一垂直后可证得线面垂直；（2）在（1）的证明中知易求，从而利用体积法可求得到平面的距离【详解】（1）证明：平面ABCD，.四边形是矩形，所以，由 平面，.，为的中点，由
18、 平面. （2） 设点到平面的距离为.由（1）知平面 （*），所以（*）为，解得.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查求点到平面的距离，掌握线面垂直的判定定理和性质定理是证明线面垂直的关键，求点到平面距离的方法是等体积法20.在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（2，2）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos24cos0.（1）求C的直角坐标方程；（2）若l与C交于A，B两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合，即可求出曲线的极坐标方程；（2）由已知直接写出直线的参数方程，把直线的参数方程代入曲线
19、的极坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，两边同时乘以，得，把互化公式代入可得：，即，所以C的直角坐标方程为y24x.（2）设直线的倾斜角为，可得参数方程为：（为参数），代入抛物线方程可得：，则，当且仅当时，等号成立，的最大值为.【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有，的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；2.经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.若A，B为直线上两点，其对应的参数分别为，线段的中点为，点所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：（
20、1）；（2）；（3）；（4）.21.已知椭圆（）经过与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，求证：为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意将点的坐标代入椭圆方程即可求得椭圆的方程为；(2)利用（1）中求得的椭圆方程结合题意分类讨论可证得为定值2.试题解析：（1）将 与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得 椭圆PM2的方程为（2）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时=同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶
21、点，此时=若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，=，同理，所以=2+=2，故=2为定值22.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）设函数，若对任意，恒有，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，注意，按照非正，以及与1的大小关系分类讨论可得单调性；（2）求出，求出导函数，利用导数研究的单调性和最大值，由最大值可得的范围【详解】（1），当时，；在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，或，在和上单调递增，在上单调递减；当时，或，在和上单调递增，在上单调递减；（2），若，则恒成立，在上递增，与已知不符合，舍去，所以时，在上单调递增，在上单调递减，时，恒有所以只需，即设，则，所以在上单调递减又，所以使得的a的取值范围为.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题解决不等式恒成立的方法是求出函数的最值，由最值满足的不等关系得出结论，考查的转化与化归思想
