1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用数学归纳法证明2nn2(n5,nN+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(kN+)时命题成立C.假设n=k(k5)时命题成立D.假设n=k(k5)时命题成立解析:由数学归纳法的步骤可知,C项正确.答案:C2.下列不等式一定成立的是()A.(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|a2+b2x2+y2C.(a2+b2)(x2+y2)(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)(ab+xy)2解析:由柯西不等式可知,只有C项正确.答案
2、:C3.若x-1,x0,则下列不等式不正确的是()A.(1+x)41+4xB.(1+x)431+43xC.(1+x)-31-3xD.(1+x)121+12x解析:由贝努利不等式可得D项不正确.答案:D4.若3x+2y+z=7,则x2+y2+z2的最小值是()A.12B.714C.76D.2解析:由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)(7)2=7,于是x2+y2+z212,当且仅当x3=y2=z,即x=3714,y=77,z=714时取等号,故x2+y2+z2的最小值是12.答案:A5.设a1a2an,b1b2bn为两组实数,S1
3、=a1bn+a2bn-1+anb1,S2=a1b1+a2b2+anbn,则有()A.S1S2B.S1S2C.S1S2D.S1S2解析:显然S1为逆序和,S2为顺序和,由排序不等式可知S1S2.答案:D6.设0BB.ABC.ABD.AB解析:不论x1,x2,xn的大小顺序如何,A一定是顺序和,所以AB.答案:C11.若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15解析:u2=(3x+6y+5z)2(3x)2+(23y)2+(5z)212+(3)2+(5)2=99=81,当且仅当x=13,y=12,z=1时,等号成立.故
4、所求的最大值为9.答案:A12.设P为ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若ABC的周长为l,面积为S,则BCPD+CAPE+ABPF的最小值为()A.l22SB.l2SC.l24SD.2l2S解析:设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.a3b3+a2b2+a1b1(a3b3+a2b2+a1b1)a3b3a3b3+a2b2a2b2+a1b1a1b12=(a3+a2+a1)2=l2,a3b3+a2b2+a1b1l22S,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.答案:A二
5、、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x12+x22+x32=2,y12+y22+y32=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.解析:由柯西不等式可得(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)26,所以x1y1+x2y2+x3y36,当且仅当x1y1=x2y2=x3y3时等号成立,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为6.答案:614.已知正实数x1,x2,xn满足x1+x2+xn=P,P为定值,则F=x12x2+x22x3+xn-12xn+xn2x1的最小值为.解析:不妨设00.且01
6、+nx(x-1,且x0,n1,nN+),当n1时,令x=ba,所以1+ban1+nba,所以a+ban1+nba,即(a+b)nan+nan-1b,当n=1时,M=N,故MN.答案:MN三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a0,b0,a+b=1,求证:2a+1+2b+122.证明由柯西不等式可得(2a+1+2b+1)2=(2a+11+2b+11)2(2a+1)2+(2b+1)2(12+12),因此(2a+1+2b+1)22(2a+2b+2)=8,当且仅当a=b=12时等号成立,故2a+1+2b+122.18.导学号35664049(本小题满分12分)求证:tan
7、 tan 2+tan 2tan 3+tan(n-1)tan n=tanntan-n(n2,nN+).证明(1)当n=2时,左边=tan tan 2,右边=tan2tan-2=2tan1-tan21tan-2=21-tan2-2=2tan21-tan2=tan2tan1-tan2=tan tan 2=左边,等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN+)时等式成立,即tan tan 2+tan 2tan 3+tan(k-1)tan k=tanktan-k.则当n=k+1时,tan tan 2+tan 2tan 3+tan(k-1)tan k+tan ktan(k+1)=tanktan-k+tan k
8、tan(k+1)=tank1+tantan(k+1)tan-k=1tantan(k+1)-tan1+tan(k+1)tan1+tan(k+1)tan -k=1tantan(k+1)-tan -k=tan(k+1)tan-(k+1),所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,当n2,nN+时等式恒成立.19.导学号35664050(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2x+122y.由柯西不等式可得22+122x2+(2y)22x+122y2,即(2x+y)21741.所以u2174,故-172u172,当且仅当4y
9、=12x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=41717,y=1734.所以u的最大值是172,此时x=41717,y=1734;u的最小值是-172,此时x=-41717,y=-1734.20.(本小题满分12分)设a,b,c(0,+),利用排序不等式证明:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.证明不妨设abc0,则lg alg blg c,由排序不等式可得alg a+blg b+clg cblg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg cclg a+alg b+blg c,以上两式相加可得2alg a+2blg b+2clg c(b+c)lg a+(a+c)l
10、g b+(a+b)lg c,即lg a2a+lg b2b+lg c2clg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a2ab2bc2c)lg(ab+cba+cca+b),故a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.21.导学号35664051(本小题满分12分)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求14a2+19b2+c2的最小值.解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为
11、a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得14a2+19b2+c2(4+9+1)a22+b33+c12=(a+b+c)2=16,即14a2+19b2+c287.当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时等号成立.故14a2+19b2+c2的最小值为87.22.导学号35664052(本小题满分12分)已知函数f(x)=13x3-x,数列an满足条件:a11,an+1f(an+1).试比较11+a1+11+a2+11+an与1的大小,并说明理由.解因为f(x)=x2-1,an+1f(an+1),所以an+1
12、(an+1)2-1.设函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x,则g(x)在区间-1,+)上是增加的,于是由a11,得a2(a1+1)2-122-1,进而得a3(a2+1)2-124-123-1,由此猜想:an2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:当n=1时,a121-1=1,结论成立;假设当n=k(k1且kN+)时结论成立,即ak2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间-1,+)上是增加的知,ak+1(ak+1)2-122k-12k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由知,对任意nN+,都有an2n-1.于是有1+an2n,因此11+an12n,所以11+a1+11+a2+11+an12+122+12n=1-12n1.所以11+a1+11+a2+11+an1.
