1、易错点32 直线与圆锥曲线一、单选题1. 抛物线C：y=ax2(a0)的焦点F是双曲线2y22x2=1的一个焦点，过F且倾斜角为60的直线l交C于A，B，则|AB|=A. 433+2B. 43+2C. 163D. 162. 已知椭圆C：x29+y28=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=9上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，k1，k2分别为直线BP，QF的斜率则k1k2的取值范围是A. ,98B. ,11,0C. ,34D. ,00,343. 对于任意实数k，方程x2+y2+2kx+k2y2k=0所表示的曲线恒过定点A. 35,25、0,2B.
2、 45,25、0,2C. 45,25、2,0D. 45,25、2,04. 已知实数a,b,c成等差数列，记直线ay+bx+c=0与曲线y=18x212x12的相交弦中点为P，若点A,B分别是曲线x2+y210x2y+25=0与x轴上的动点，则PA+PB的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知抛物线C:y2=ax(a0)，其焦点F(1,0)，过点M(2,0)的互相垂直的两条直线l1，l2分别与抛物线C交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积的最小值为A. 96B. 48C. 24D. 126. 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，
3、与抛物线的准线相交于点C，且|BF|=2，则SBCFSACF=A. 45B. 47C. 23D. 127. 如图，P为椭圆E1：x2a2+y2b2=1(ab0)上的一动点，过点P作椭圆E2：x2a2+y2b2=(0b0)与双曲线C2：x2y24=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则A. a2=132B. a2=13C. b2=12D. b2=2二、填空题9. 已知F(1,0)为抛物线P:y2=2pxp0的焦点，过点F且斜率为k的直线l与曲线P交于B，C两点，过O与BC中点M的直线与曲线P交于N点，则SOMCSOBN的取值范围是_
4、10. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是_11. 已知过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y22x=0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则1|PM|+4|QN|的最小值为_12. 已知双曲线y225x2144=1，过双曲线的上焦点F1作圆x2+y2=25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则MOT的外接圆的周长为_三、解答题13. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b. ()求椭圆C的
5、离心率；()若点M(3,32)在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值14. 阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0的面积为23，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求OAB面积的最大值15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点(2,1)，离心率
6、是22，直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于M,N两点(M,N两点均位于y轴的右侧)，与y轴交于Q点 (1)求椭圆的标准方程；(2)如图1，是否存在直线l，使得1|QM|+1|QN|=4|QF|成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由(3)如图2，若点A,B在椭圆上，点C为椭圆上顶点，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值已知抛物线C：y2=2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N()求直线l的斜率的取值范围；()设O为原点，QM=QO，QN=QO，求证：1+1为定值一、单选题1. 抛物
7、线C：y=ax2(a0)的焦点F是双曲线2y22x2=1的一个焦点，过F且倾斜角为60的直线l交C于A，B，则|AB|=A. 433+2B. 43+2C. 163D. 16【答案】D【解析】解：由双曲线2y22x2=1，得a2=b2=12，则c=a2+b2=1，双曲线的上焦点坐标为(0,1)，即抛物线C：y=ax2(a0)的焦点F是(0,1)，化抛物线C：y=ax2(a0)为x2=1ay，则2p=1a，p2=14a，得14a=1，即a=14抛物线方程为x2=4y直线l的方程为y=3x+1，联立y=3x+1x2=4y，得y214y+1=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=14，
8、y1y2=1|AB|=y1+y2+p=14+2=16故选：D2. 已知椭圆C：x29+y28=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=9上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，k1，k2分别为直线BP，QF的斜率则k1k2的取值范围是A. ,98B. ,11,0C. ,34D. ,00,34【答案】D【解析】解：由题意可得F(1,0)取特殊点P(0,3)，则PA方程为y=x+3与椭圆方程联立，可得17x2+54x+9=0，所以x=3或317，所以Q(317,4817)，kPB=1，kQF=48173171=125，kBPkQF=512，故排除B，又因为
9、圆x2+y2=9上有一动点P，P不同于A，B两点，故kBP0，kBPkQF0，故排除A，C，故选D3. 对于任意实数k，方程x2+y2+2kx+k2y2k=0所表示的曲线恒过定点A. 35,25、0,2B. 45,25、0,2C. 45,25、2,0D. 45,25、2,0【答案】B【解析】解：曲线x2+y2+2kx+k2y2k=0可化为(x2+y22y)+k(2x+y2)=0x2+y22y=0且2x+y2=0，解方程组x2+y22y=02x+y2=0,可得恒过定点45,25、0,2故选B4. 已知实数a,b,c成等差数列，记直线ay+bx+c=0与曲线y=18x212x12的相交弦中点为P，
10、若点A,B分别是曲线x2+y210x2y+25=0与x轴上的动点，则PA+PB的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：因为实数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，则直线ay+bx+c=0化为ay+a+c2x+c=0，即a2y+x+cx+2=0，所以直线ay+bx+c=0过定点Q2,1，又点Q在曲线y=18x212x12上，所以直线ay+bx+c=0与曲线y=18x212x12相交的一个交点为Q，设另一个交点为Q1，设Pm,n，则Q12m+2,2n1，又Q1在曲线y=18x212x12上，化简得m2=4n，即P在抛物线x2=4y上运动，设抛物线x2=4y的焦点为
11、F0,1，设P(xP,yP)，PBmin=yP=yP+11=PF1，曲线x2+y210x2y+25=0，得(x5)2+(y1)2=1，记圆心M(5,1)所以|PA|+|PB|PA|+|PF|1=|PM|1+|PF|1|MF|1152=3故选B5. 已知抛物线C:y2=ax(a0)，其焦点F(1,0)，过点M(2,0)的互相垂直的两条直线l1，l2分别与抛物线C交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积的最小值为A. 96B. 48C. 24D. 12【答案】B【解析】解：由于抛物线C：y2=ax(a0)，其焦点F(1,0)，则a=4，所以抛物线方程为y2=4x设直线l1的方程为y=k(x2
12、)且k0，设直线l1与抛物线C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l2与抛物线C交于C(x3,y3)，D(x4,y4)，则y=k(x2)y2=4x，代入消元得，k2x2(4k2+4)x+4k2=0，所以x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，则AB=1+k2x1x2=41+k22k2+1k4=41k2+12+1k2，同理CD=1+1k2x3x4=41+1k2k4+2k2=41+k22+k2，所以四边形ABCD面积S=12ABCD=81k2+11+k22+k22+1k2=82+k2+1k25+2(k2+1k2)，k2+1k22，故S48，当且仅当k=1时，等号成立故选B6. 设抛物线y
13、2=2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于点C，且|BF|=2，则SBCFSACF=A. 45B. 47C. 23D. 12【答案】A【解析】解：如图过A、B作准线l：x=12的垂线，垂足分别为A1，B1，SBCFSACF=|BC|AC|，又B1BCA1AC，|BC|AC|=|BB1|AA1，由拋物线定义|BB1|AA1|=|BF|AF|=2|AF|由|BF|=|BB1|=2知xB=32，不妨设B在A下方，则yB=3，AB：y0=3332(x3).把x=y22代入上式，求得yA=2，xA=2，|AF|=|AA1|=52故SBCFSACF=|BF|A
14、F|=252=45故选A7. 如图，P为椭圆E1：x2a2+y2b2=1(ab0)上的一动点，过点P作椭圆E2：x2a2+y2b2=(0b0)上，则x02a2+y02b2=1，设过点P的直线为y=k(xx0)+y0，与x2a2+y2b2=(01)联立消去y得，(b2+k2a2)x2+2ka2(y0kx0)x+a2(y0kx0)2a2b2=0，由于直线y=k(xx0)+y0与椭圆E2：x2a2+y2b2=(0b0)与双曲线C2：x2y24=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()A. a2=132B. a2=13C. b2=12D
15、. b2=2【答案】C【解析】解：由题意，知a2=b2+5，因此椭圆方程为(a25)x2+a2y2+5a2a4=0，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，联立方程消去y，得(5a25)x2+5a2a4=0，所以直线截椭圆的弦长d=52a45a25a25=23a，解得a2=112，b2=12故选C二、填空题9. 已知F(1,0)为抛物线P:y2=2pxp0的焦点，过点F且斜率为k的直线l与曲线P交于B，C两点，过O与BC中点M的直线与曲线P交于N点，则SOMCSOBN的取值范围是_【答案】(0,12)【解析】解：因为F(1,0)，所以p2=1,则p=2，所以抛物线方程为y2=4x,设B(x1,y1)
16、,C(x2,y2),直线l方程为y=k(x1)，显然k0，将直线l方程代入到抛物线方程得到k2x2(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2,则xM=k2+2k2,则M(k2+2k2,2kk2)，所以kOM=2kk2+2，则直线OM的方程为y=2kk2+2x，代入到抛物线y2=4x方程得：4k2(k2+2)2x2=4x，解得x=0或x=(k2+2)2k2，所以xN=(k2+2)2k2，因为SOMC=SOMB，所以SOMCSOBN=SOMBSOBN=OMON=xMxN=1k2+2(0,12),故答案为(0,12)10. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y4)2=
17、1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是_【答案】171【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，圆x2+(y4)2=1的圆心为C(0,4)，半径r=1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为FCr=171故答案为17111. 已知过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y22x=0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则1|PM|+4|QN|的最小值为_【答案】4【解析】解：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)设PQ
18、的方程为x=my+1x=my+1y2=4xy24my4=0y1+y2=4m，y1y2=4，则x1x2=(y1y2)216=1|PM|QN|=(|PF|1)(|QF|1)=(x1+11)(x2+11)=x1x2=1，则1|PM|+4|QN|21|PM|4|QN|=4当且仅当QN=4PM=2时，等号成立，故答案为412. 已知双曲线y225x2144=1，过双曲线的上焦点F1作圆x2+y2=25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则MOT的外接圆的周长为_【答案】【解析】解：如图，F1M为圆的切线，OMF1M，在直角三角形OMF1中，|OM|=5设双曲线的下焦点为F2，连
19、接NF2，OT为F1F2N的中位线，2|OT|=|NF2|.设|OT|=x，则|NF2|=2x，又|NF1|NF2|=10，|NF1|=|NF2|+10=2x+10，|TF1|=x+5，由勾股定理得|F1M|2=|OF1|2|OM|2=13252=144，|F1M|=12，|MT|=|x7|，在直角三角形OMT中，|OT|2|MT|2=|OM|2，即x2(x7)2=52，x=377又OMT是直角三角形，故其外接圆的直径为|OT|=377，MOT的外接圆的周长为377.故答案为三、解答题13. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b. ()求椭圆C
20、的离心率；()若点M(3,32)在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值【答案】解：()由题意，得ac=33b，则(ac)2=13b2，结合b2=a2c2，得(ac)2=13(a2c2)，即2c23ac+a2=0，亦即2e23e+1=0，结合0e0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8km3+4k2，x1x2=4m2123+4k2由y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，得AB的中点N(4km3+4k2,3m3+4k2)，因为N在直线y=12x上，所以4km3+4k2=23m3+4k2，
21、解得k=32所以=48(12m2)0，得12m12，且m0，|AB|=1+(32)2|x2x1|=132x1+x224x1x2=132m24m2123=39612m2又原点O到直线l的距离d=2|m|13，所以SOAB=1239612m22|m|13=36(12m2)m23612m2+m22=3当且仅当12m2=m2，m=6时等号成立，符合12mb0的面积为23，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求OAB面积的最大值【答案】解：(1)依题意有ab=23a=2ca2=b2+c2，解得a=2b=3，所以椭圆C的
22、标准方程是x24+y23=1(2)由题意直线l的斜率不能为0，设直线l的方程为x=my+1，联立方程组x=my+1x24+y23=1，整理得(3m2+4)y2+6my9=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，所以|y1y2|=(y1+y2)24y1y2=12m2+13m2+4，所以SOAB=12|OP|y1y2|=6m2+13m2+4，令t=m2+1(t1)，则m2=t21，因为3t+1t在1,+)上单调递增，所以当t=1，即m=0时，OAB面积取得最大值为3215. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点(2,1)，离心率是2
23、2，直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于M,N两点(M,N两点均位于y轴的右侧)，与y轴交于Q点 (1)求椭圆的标准方程；(2)如图1，是否存在直线l，使得1|QM|+1|QN|=4|QF|成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由(3)如图2，若点A,B在椭圆上，点C为椭圆上顶点，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值16. 已知抛物线C：y2=2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N()求直线l的斜率的取值范围；()设O为原点，QM=QO，QN=QO，求证：1+1为定值【答案】解：()
24、抛物线C：y2=2px经过点P(1,2)，4=2p，解得p=2，由题意，直线l的斜率存在且不为0，设过点(0,1)的直线l的方程为y=kx+1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立方程组可得y2=4xy=kx+1，消y可得k2x2+(2k4)x+1=0，=(2k4)24k20，且k0，解得k1，且k0，则x1+x2=2k4k2，x1x2=1k2，又PA、PB要与y轴相交，直线l不能经过点(1,2)，即k3，故直线l的斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)；()证明：设点M(0,yM)，N(0,yN)，则QM=(0,yM1)，QO=(0,1)，因为QM=QO，所以yM1=，故=1yM，同理=1yN，直线PA的方程为y2=2y11x1(x1)=2y11y124(x1)=42+y1(x1)，令x=0，得yM=2y12+y1，同理可得yN=2y22+y2，因为1+1=11yM+11yN=2+y12y1+2+y22y2=82y1y2(2y1)(2y2)=82(kx1+1)(kx2+1)1k(x1+x2)+k2x1x2=82k2x1x2+k(x1+x2)+11k(x1+x2)+k2x1x2=82(1+42kk+1)142kk+1=4242kk242kk=2，1+1=2，1+1为定值
