1、 垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，垂直问题更是高考考查的热点问题，不少问题常常是以垂直为解题的突破口，下面具体剖析垂直关系的复习。一垂直的判定与性质1直线和平面垂直的判定方法类别语言表述应用判定如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直（定义）证直线和平面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面（判定定理）证直线和平面垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面（推理1）/证直线和平面垂直判定定理中，“相交”两字不能少，否则命题不成立判定一直线垂直于一
2、平面的方法是设法在平面中找出两条相交直线，然后证明一直线垂直于两相交直线即可所以线面垂直的判定往往归为线线垂直的判定2.直线与平面垂直的性质类别语言表述应用判定如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直证两条直线垂直如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行（推理2）证两条直线平行3.面面垂直的判定与性质类别语言表述应用判定根据定义证明两平面所成的二面角是直二面角证两平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直
3、于另一个平面特别提示：（1）面面垂直线面垂直（线是其中一个平面内垂直于它们交线的一条直线）；（2），要过内一点引平面的垂线，只需过这一点作交线的垂线。（3）证明两个平面垂直的方法是：证明一个平面经过另一个平面的垂线。 二、温馨提示：1.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加。如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的高（中线或角平分线）三线合一、矩形的内角、直径
4、所对的圆周角、菱形的对角线垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等. 2. 证明垂直主要方法是转化：图示表示为：三典例剖析1、线线垂直证明例1（2018丰台区二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，A1D平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E （）求证：ACA1B；（）求证：平面BB1D平面AA1C1C；【分析】（）推导出A1DAC，BDAC，从而AC平面A1BD，由此能证明ACA1B（）推导出A1DBD，BDAC，从而BD平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D平面AA1C1C证明：（）因为 A1D平面ABC，所以 A1DAC
5、因为ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BDAC 因为 A1DBD=D，所以 AC平面A1BD 所以 ACA1B （） 因为 A1D平面ABC，因为 BD平面ABC，所以 A1DBD 由（）知 BDAC因为 ACA1D=D，所以 BD平面A1ACC1 因为 BD平面BB1D，所以 平面BB1D平面AA1C1C 【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，证明线线垂直一般通过证明线面垂直求得，证明面面垂直转化为线面垂直完成。2、线面垂直证明例2（2018铜山区一模）如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，ACD=90求证：AB平面
6、EDC； 【分析】推导出CDAC，从而CD平面ABC，进而CDAB，再求出CEAB，CEAB，由此能证明AB平面EDC证明：平面ABC平面ACD，ACD=90， CDAC，平面ABC平面ACD=AC，CD平面ACD，CD平面ABC，又AB平面ABC，CDAB，AC=BC，E为AB的中点，CEAB，又CECD=C，CD平面EDC，CE平面EDC，AB平面EDC【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力。本题出现面面垂直所以想到面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定定理证明问题。3.面面垂直证明例3（2018海淀区二模）如图，已知菱形AEC
7、D的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示（）求证：DE平面PCF； （）证明：平面PBC平面PCF；【分析】（）折叠前，ACDE；，从而折叠后，DEPF，DECF，由此能证明DE平面PCF（）推导出DCAE，DC=AE从而DCEB，DC=EB进而四边形DEBC为平行四边形从而CBDE由此能证明平面PBC平面PCF证明：（）折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以ACDE；所以折叠后，DEPF，DECF，又PFCF=F，PF，CF平面PCF，所以DE平面PCF（）因为四边形AECD为菱形，所以DCAE，DC=AE又点E为AB的中点，所以D
8、CEB，DC=EB所以四边形DEBC为平行四边形所以CBDE又由（）得，DE平面PCF，所以CB平面PCF因为CB平面PBC，所以平面PBC平面PCF点评：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，处理折叠问题，要先画好平面图形，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系.要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化.一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折成两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化.不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理. 四、达标测试题1（2018青州市三模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1
9、中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ） AMNCC1BMN平面ACC1A1CMNABDMN平面ABCD A（2，0，0），=（2，2，0），=22+0=0，ACMN，又MNCC1，ACCC1=C，MN平面ACC1A1，故B成立；=（0，2，0），=（1，1，0），MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量=（0，0，1），=0，又MN平面ABCD，MN平面ABCD，故D正确故选：C 2（2018春宁波期末）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（
10、 ） A4BCD NB平面ADGM，使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，正方体的棱长为1故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+故选：D 3（2018泉州模拟）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，D为BB1的中点（1）求证：A1CAD；（2）若点P为四边形ABB1A1内部及其边界上的点，且三棱锥PABC的体积为三棱柱ABCA1B1C1体积的，试在图中画出，P点的轨迹并说明理由 3【解答】（1）证明：取AB的中点F，连接CF，A1F，A1A平面ABC，CF平面ABC，所以A1ACFABC为正三角形，F为AB的中点，BACF，又AA1，AB平
11、面AA1B1B，AA1AB=A，CF平面AA1B1B，又AD平面AA1B1B，所以CFAD，正方形AA1B1B中，RtA1AFRtABD，DAB=FA1A，又AFA1+FA1A=90，AFA1+DAB=90，故ADA1F，又CFA1F=F，CF，A1F平面A1FC，AD平面A1FC，又A1C平面A1FC，A1CAD 4（2018赤峰一模）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形BAD=60已知PB=PD=2，PA=（）证明：PCBD；（）若E为PA上一点，记三棱锥PBCE的体积和四棱锥PABCD的体积分别为V1和V2，当V1：V2=1：8时，求的值 4证明：（）连接BD、AC交于O
12、点，PB=PD，POBD，又ABCD是菱形，BDAC，而ACPO=O，BD平面PAC，且PC平面PAC，BDPC 5（2018江门一模）如图，直角梯形ABEF中，ABE=BAF=90，C、D分别是BE、AF上的点，且DA=AB=BC=a，DF=2CE=2a沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP=a（）求多面体ABCDPQ的体积；（）求证：平面PBQ平面PBD （）取BP的中点G，连接GQ、DG、DQ，在ABP中，BP=2a，BG=BP=a，在BCQ中，BQ=a，PQ=a，PQ=BQ，GQBPQG=a，又BD=2a=DP，DGBP，DG=a，又
13、DQ=a，DQ2=QG2+DG2，即QGDG又BPDG=G，QG平面PBD，又QG平面PBQ，平面PBQ平面PBD 6（2018东莞市模拟）如图1，ABC是边长为3的等边三角形，D在边AC上，E在边AB上，且AD=BE=2AE将ADE沿直线DE折起，得四棱锥ABCDE，如图2（1）求证：DEAB；（2）若平面ADE底面BCDE，求三棱锥DACE的体积 6解：（1）证明：在图1中，由题意知AE=1，AD=BE=2，在ADE中，由余弦定理知：DE2=AE2+AD2AEAD=12+2212=3，所以：AE2+DE2=AD2，所以：DEAE，DEBE，在ADE沿直线DE折起的过程中，DE与AE，BE的
14、垂直关系不变，故在图2中有DEAE，DEBE，又AEBE=E，所以DE平面AEB，所以DEAB 7（2018开封一模）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点将ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB平面BCDE，如图2（）求证：PB平面PEC；（）求三棱锥DPEC的高 （）以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，PB=PE=2，则B（，0，0），E（，0，0），P（0，0，），D（2，0），C（，2，0），=（，0，），=（，2，），cosEPC=，可得：sinEPC=，可得：SEPC=|sinEPC=22=2，VPEC
15、D=VDEPC，设三棱锥DPEC的高为h，则可得：SECDOP=SEPCh，可得：=2h，解得：三棱锥DPEC的高h=1 8（2018江门一模）如图1，ABCD是一个直角梯形，ABC=BAD=90，E为BC边上一点，AE、BD相交于O，AD=EC=3，BE=1，AB=将ABE沿AE折起，使平面ABE平面ADE，连接BC、BD，得到如图2所示的四棱锥BAECD （）求证：CD平面BOD；（）求直线AB与面BCD所成角的余弦值 （）由（）可知，四边形AECD的面积S=CDOD=3（7分）连接AC，则ACD的面积S1=，三棱锥B=ACD的体积V=（9分）BCD的面积S2=（10分）设A到平面BCD的
16、距离为h，则h=，h=（11分）直线AB与面BCD所成角的正弦值为，余弦值为（12分） 9（2018永州三模）如图所示，在多面体ABCA1B1C1中，D，E，F分别是AC，AB，CC1的中点，AC=BC=4，CC1=2，四边形BB1C1C为矩形，平面ABC平面BB1C1C，AA1CC1（1）求证：平面DEF平面AA1C1C；（2）求直线EF与平面ABC所成的角的正切值 10（2018桃城区校级模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC平面AA1B1B，AB=AA1=2，A1AB=60（）证明：平面AB1C平面A1BC；（）若四棱锥ABB1C1C的体积为，求该三棱柱的侧面积 10证明：（1）
17、在侧面A1ABB1中，A1A=AB，四边形A1ABB1是菱形，AB1A1BCB平面A1ABB1AB1平面A1ABB1，AB1CB，A1BCB=B，AB1平面A1CB又AB1平面AB1C；平面AB1C平面A1BC；（2）由（1）及A1AB=60得A1BB1是等边三角形，取BB1的中点M，则A1MBB1，又BC平面AA1B1B，A1M面CBB1C1，且A1M=四棱锥ABB1C1C的体积为，V=BC=1，S=BB1，S=12=2，在CA1C1中，A1C1=A1C=，CC1=2，A1CC1边CC1上的高为2，S=22=4该三棱柱的侧面积为S=2+2+4=6+2 11（2018河南一模）如图所示，在四棱
18、锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BDCE=H，PH平面ABCD，且PH=4（1）求证：PCBD（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥PBFD的体积为5？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由 （2）解：假设线段PC上存在一点F，使三棱锥PBFD的体积为5， 12（2018商丘三模）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF平面ABC，FBD=60，ABBC，AB=BC=（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF平面AMC；（2）求六面体ABCEF的体积 12证明：（1）连接MD，FD四边形BDEF为
19、菱形，且FBD=60，DBF为等边三角形M为BF的中点，DMBFABBC，又D是AC的中点，BDAC平面BDEF平面ABC=BD，平面ABC平面BDEF，AC平面ABC，AC平面BDEF又BF平面BDEF，ACBF由DMBF，ACBF，DMAC=D，BF平面AMC 13（2018内江三模）如图，四棱锥中PABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，PA=PD，AD=2BC（）证明：平面PAD平面PCD；（）若PAB是面积为的等边三角形，求四棱锥PABCD的体积 平面PAD平面PCD（）解：设AD的中点为E，连接PE，BE，PA=PD，PEAD，平面PAD底
20、面ABCD，平面PAD底面ABCD=AD，PE底面ABCDPAB是面积为的等边三角形，PA=AB=PB=2，E是AD的中点，ADBC，ADC=90，AD=2BC，四边形BCDE为矩形，AEB=90，AEBPEB，故PE=AE，PAE是等腰直角三角形，故AE=PE=PA=，在直角三角形AEB中有BE=，BC=BE=，AD=2，BC=，直角梯形ABCD的面积为（AD+BC）CD=3，VPABCD=SABCDPE= 14（2018齐齐哈尔一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC=BB1，BAC=BCA=ABC，点E是A1B与AB1的交点，点D在线段AC上，B1C平面A1BD（1）求证：BDA
21、1C；（2）求证：AB1平面A1BC （2）由（1）知AB=BC，ABBC，（7分）BB1=BC，四边形ABB1A1是菱形，AB1A1B，（8分）BB1平面ABC，BC平面ABCBCBB1（9分）ABBB1=B，AB，BB1平面ABB1A1BC平面ABB1A（10分）AB1平面ABB1A1，BCAB1，（11分）BCA1B=B，BC，A1B平面A1BC，AB1平面A1BC（12分） 15（2018孝义市一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC1平面A1BC（1）证明：平面ABC平面ACC1A1；（2）若BC=AC=2，A1A=A1C，求点B1到平面A1BC的距离 （2）解：取AC的中点D，连接A1DA1A=A1C，A1DAC又平面ABC平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D平面ABCAC1平面A1BC，AC1A1C，四边形ACC1A1为菱形，AA1=AC又A1A=A1C，A1AC是边长为2正三角形，设点B1到平面A1BC的距离为h则又，所以点B1到平面A1BC的距离为
