1、微专题27以解析几何为载体的应用题1如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD2x，梯形面积为S，则S的最大值是_2一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的正焦弦长(过焦点垂直于对称轴的弦)若拱口宽为a米，则能使卡车能通过的a的最小整数值为_3在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图的一个门(该图为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长6分米的材料弯折而成，BC边的长为2t分米；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线(在如图的平面直角坐标系中，其解析式为yc
2、osx1)，此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t)(1)试分别求出函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？4有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略小计(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞
3、，试求这块圆形广场的最大面积(结果保留根号和)5.如图，有两条道路OM与ON，MON60，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3 km.设OAakm，OBbkm.(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为km，到点O的距离PO为km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由6图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是图2所示的半圆弧ACB，其中C为半圆弧中点，渠宽AB为2米(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽；(2)若把这条水渠
4、改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少时，所挖的土最少？微专题271答案：.解析：建立坐标系，B点坐标为(1，1)，求出抛物线方程为x2y，得D点坐标(x，x2)，等腰梯形的高为1x2，S(1x2)，0x1，求导可以得到x时，S取最大值.2答案：13.解析：设抛物线的方程为x22p(p0)，因为在抛物线上，所以p2，即p.所以抛物线的方程为x2a，将(0.8，y)代入，得y.因为卡车高为3米，故要使卡车能通过，必须y3且a0，即a212a2.560，解得a12.21，所以a的最小整数值为13.3答案：(1)h1(x)tcost4，h2(x)t2
5、t3；(2)选用曲线C2，当t时，点E到BC边的距离最大，最大值为分米解析：(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为ycosx1，所以点D的坐标为(t，cost1)，所以点O到AD的距离为1cost，而ABDC3t，则h1(t)(3t)(1cost)tcost4，对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2y，即yx2，所以点D的坐标为，所以点O到AD的距离为t2，而ABDC3t，所以h2(x)t2t3.(2)因为h1(t)1sint0，所以h1(t)在上单调递减，所以当t1时，h1(t)取得最大值为3cos1.又h2(t)，而1t，所以当t时，h2(t)取得最大值为.因为cos1cos，所以3c
6、os13，答：应选用曲线C2，当t时，点E到BC边的距离最大，最大值为分米4答案：(1)(百米)；(2)(64).解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，)(1)小路的长度为OAOBAB，因为OA，OB长为定值，故只需要AB最小即可作OMAB于M，记OMd，则AB22，又dOD，故AB22，此时点D为AB中点故小路的最短长度为(百米)(2)显然，当广场所在的圆与ABO内切时，面积最大，设ABO的内切圆的半径为r，则ABO的面积为SABO(ABAOBO)rABd，由弦长公式AB2可得d24，所以r2，设ABx，则r2f(x)，所以f(x)，又因为0dOD，即0d，所以xAB2，所以f(x)
7、0，所以f(x)maxf(2)64，即ABC的内切圆的面积最大值为(64).5答案：(1)b，0a.(2)下水管道AB能经过污水总管的接口点P，a(km)解析：(1)OAOBAB3，AB3ab.MON60，由余弦定理，得AB2a2b22abcos60.(3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a0，b0，3ab0，及ab3ab，a3abb，b3aba，得0a.综上，b，0a.(2)以O为原点，OM为x轴，建立如图所示的直角坐标系PH，PO，点P.假设AB过点P.A(a，0)，B，即B，所以直线AP方程为y(xa)，即y(xa)将点B代入，得.化简，得6a210a30.所以a，且a.答：下水管道A
8、B能经过污水总管的接口点P，a(km)6答案：(1)0.8米；(2)水渠底宽为米时，所挖的土最少解析：以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为AB2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为x2y21(1x1，y0)因为水深CD0.4米，所以OD0.6米，在RtODM中，DM08(米)所以MN2DM1.6米，故沟中水面宽为1.6米(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为P(cos，sin)是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosysin1.令y0，得E，令y1，得F.设直角梯形OCFE的面积为S，则S(CFOE)OC1.S，令S0，解得，当时，S0，函数单调递减；当0时，S0，函数单调递增所以时，面积S取得最小值，最小值为.此时CF，即当渠底为米时，所挖的土最少
