1、3.8函数模型及函数的综合应用基础篇【基础集训】考点函数模型及函数的综合应用1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.-1答案D2.(2021届江苏苏州开学初调研)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵,记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3成正比,当v=1m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当v=2m/s时,其耗氧量的单位数为()A.1800B.2700C.7290D.8100答案D3.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况
2、的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t(0,14时,曲线是二次函数图象的一部分,当t(14,40时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a0且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.教师专用题组【基础集训】考点函数模型及函数的综合应用1.动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,则动点P所走的图形可能是()答案D对于A,当点P在边AB上
3、运动时,y=x,不符合题意;对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于C,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=,符合题意.故选D.2.(2019北京牛栏山一中期中,8)在股票买卖过程中,经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势,其中一种曲线是即时价格曲线y=f(x),一种曲线是平均价格曲线y=g(x).例如:f(2)=3表示开始交易后2小时的即时价格为3元,g(2)=4表示开始交易后2小时内所有成交股票的平均价格为4元.下列四个图中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x).其中可能正确的是()答案B刚开
4、始交易时,即时价格和平均价格应该相等,故A错误;开始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,即时价格与平均价格同增同减,且平均价格在任何时刻的变化幅度应该小于即时价格的变化幅度,当即时价格最低时,平均价格还没有达到最低值,平均价格的最小值大于即时价格的最小值,故C、D均错误,只有选项B满足条件,故选B.评析考查函数的实际应用问题,要求学生学知识要学活,不能“僵化”的学习.本题同时重点考查识图、认图的能力.3.(2019北京八中10月月考,5)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量
5、迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,他至少要经过小时才可以驾驶机动车(精确到小时)()A.1B.2C.4D.6答案C设n小时后才可以驾驶机动车,由题意得0.3(1-50%)n0.02,n4,即至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.4.(2019陕西第一次模拟联考,16)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且当x(0,1时,f(x)=x,则下列四个命题中,正确的是(填序号).f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)=0;方程f(x)=log5|x|有5个根;f(x)=函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.答案
6、解析定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),即有函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故正确;又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故可得f(x)的周期为4,由x(0,1时,f(x)=x,可得f(1)=1,又f(0)=0,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)=504(1+0-1+0)+1+0-1=0,故正确;当x-1,0)时,-x(0,1,所以f(-x)=-x=-f(x),故f(x)=x(-1x0).写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;求羊群年
7、增长量的最大值;当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.答案(1)解析(1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k0,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.(2)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为,故空闲率为1-,由此可得y=kx(0xm);由,得y=-(x2-mx)=-+.即当x=时,y取得最大值;由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即0x+ym.因为当x=时,ymax=,所以0+m,解得-2k0,所以0k40(1+20%)n,整理得nlg5(n+
8、1)lg4,解得n6,因而经过7年后,A产品的年产量超过B产品的年产量,故选B.2.(2020四川绵阳模拟,8)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如表:购票人数15051100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点,若分别购票,则共需支付门票费1290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为()A.20B.30C.35D.40答案B设两个旅游团队的人数分别为a,b,且a,bN*,不妨令ab.1290不能被13整除,a+b51.若51a+b10
9、0,则11(a+b)=990,得a+b=90,由共需支付门票费为1290元可知,11a+13b=1290,联立解得b=150,a=-60,不符合题意;若a+b100,则9(a+b)=990,得a+b=110,由共需支付门票费为1290元可知,1b50,51a100,得11a+13b=1290,联立解得a=70,b=40.这两个旅游团队的人数之差为70-40=30.故选B.3.(2020江西南昌模拟,7)衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖
10、金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中,符合该要求的是()(参考数据:1.0151004.432,lg111.041)A.y=0.04xB.y=1.015x-1C.y=tanD.y=log11(3x-10)答案D本题结合现实生活情境,考查了函数模型的应用,考查了数学建模的核心素养.对于函数y=0.04x,当x=100时,y=43,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y=3.4323,不符合题意;对于函数y=tan,不满足在x(6,100上递增,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),满足在x(6,100上是增函数,且ylog11(310
11、0-10)=log11290log111331=3,画出y=x与y=log11(3x-10)的图象如图所示,符合题意.故选D.4.(2017北京房山一模,14)中华人民共和国个人所得税法规定:从2011年9月1日开始,个人所得税起征点由原来的2000元提高到3500元,也就是说原来月收入超过2000元的部分需要纳税,从2011年9月1日开始,超过3500元的部分需要纳税,若税法修改前后超过部分的税率相同,按下表分段计税:级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元的部分32超过1500元不超过4500元的部分103超过4500元不超过9000元的部分20某职工2011年5月缴纳个人所得税2
12、95元,在收入不变的情况下,2011年10月该职工需缴纳个人所得税元.答案145解析调整前,月收入为2000+1500=3500元时,需纳税15000.03=45元,月收入为3500+3000=6500元时,需纳税45+30000.1=345元,452951)B.y=ax+b(a1)C.y=ax2+b(a0)D.y=logax+b(a1)答案ABD由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数的增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.故选ABD.4.(多选题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按
13、印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则()A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+E.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用答案ABCD由题图知甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,故A正确;甲厂的总费用y1
14、与印制证书数量x满足的函数关系式为y1=0.5x+1,故B正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为32=1.5元,故C正确;易知当x2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故D正确.当x=8时,y1=0.58+1=5,y2=8+=,因为当x6时,y1y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故E不正确.故选ABCD.5.(2018上海崇明一模,21)若存在常数k(k0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1x2),都有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.(1)若函数f(x)=(1x4)是“k-
15、利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;(2)判断函数f(x)=log2x是不是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明;若不是,请说明理由;(3)若y=f(x)(xR)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|1.解析(1)若函数f(x)=(1x4)是“k-利普希兹条件函数”,则存在k(k0),使得对于定义域1,4上任意两个x1,x2(x1x2),均有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成立,不妨设x1x2,则k=恒成立.1x2x14,2|x1-x2|,函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”.(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期0,2内f(a)=M,f(b)=m,则|f(x1)-f(x2)|M-m=f(a)-f(b)|a-b|.若|a-b|1,显然有|f(x1)-f(x2)|a-b|1.若|a-b|1,不妨设ab,则0b+2-a1,|f(x1)-f(x2)|M-m=f(a)-f(b+2)|a-b-2|1.综上,|f(x1)-f(x2)|1.
