1、专题25二元一次方程组与实际问题（一）【知识点总结】一、常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量原有量增长率 较大量较小量多余量，总量倍数倍量.2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量.4.利润问题：商品利润商品售价商品进价， . 二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量：同类量的单位要统一；方程两边的
2、数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【精典例题】一、和差倍分问题1、甲乙丙三个工厂共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的，乙厂出甲丙两厂和的，已知丙厂出
3、了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？【思路点拨】题目中的相等关系是：甲厂所出经费总经费，乙厂所出经费（甲厂所出经费+丙厂所出经费）.【答案与解析】解：设甲厂出x元，乙厂出y元，由题意得：12000+14000+16000=42000（元）答：总经费为42000元，甲厂出12000元，乙厂出14000元.【总结升华】本题也可以用一元一次方程来解，相比之下，对于含有两个未知数的应用题，列二元一次方程组来解更方便、更直观.2、根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.【答案】解：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组： 解得 答：每个篮球20元，每个羽毛球2元
4、.3、在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试测试结果显示，甲校男生的优分率为60，女生的优分率为40，全校的优分率为49.6；乙校男生的优分率为57，女生的优分率为37(男(女)生优分率，全校优分率) (1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因【思路点拨】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组求解(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优
5、分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率【答案与解析】解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人由题意可列方程组：解之得：答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为5149.6(说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生优分率合适，即可得全分)【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低 4、为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2
6、009年正式开始某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30和25%(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？【答案】解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆，由题意可得：解之得：答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为
7、560辆，自动型汽车为400辆(2)560(1+30)8+400(1+25)95516.2(万元)答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元二、配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.【答案与解析】解：设用米布料
8、做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套. 根据题意，列方程组得 解方程组得 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.2、某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条
9、桌腿）.【答案】解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得， , .方桌有50=300（张）.答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.3、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【答案与解析】解：设女生人，男生人，由题意得：解得：答：这个班的男生有32人，女生有21人.【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和4
10、0根扁担，从而列出方程组，解出即可4、某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【答案】解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺母，则根据题意可得：答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母.三、工程问题1、一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4天的工作量甲乙合做8天的工作量工作总量；(2)乙4天的工作量甲、乙合做
11、9天的工作量工作总量，根据这两个相等关系可列方程求解【答案与解析】解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件根据题意，得，解之，得答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个【总结升华】解答这类问题的基本关系式是：工作量工作效率工作时间工程问题一般分为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题2、一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成按原定计划，这项工程要求在7天内完成现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？【思路点拨】
12、根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解【答案与解析】解：设甲、乙两队先合做了x天，丙队加入后又做了y天，则解得答：甲、乙两队合做了4天，丙队加入后又做了2天【总结升华】工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”四、利润问题1、商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元；若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少?【思路点拨】本题
13、有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况【答案与解析】解：设这批商品的本钱(购货价)为x元，预售总价为y元，根据题意，得：，解这个方程组得答：这批商品的本钱为24200元，预售总价为44000元【总结升华】打几折就是乘以百分之几十，另外注意两次获利都是纯利润本例需要弄清的等量关系是：销售总价商品进价存货费利润2、王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗? 【答案】解：设王师傅分别购进甲、
14、乙两种商品件和件，则解得：答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件3、甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元求甲乙两件服装的成本各是多少元？【答案与解析】解：设甲、乙两件服装的成本分别为元和元，由题意：解得：答：甲、乙两件服装的成本分别为300元和200元【总结升华】本题也可以用一元一次方程的知识解答4、儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？【答案】解：设书包和文具盒的标价分别为x元和y元，根据题意，得解得：答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元
