1、微专题5三角形中有关中线、角平分线的问题12023新课标卷记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为，D为BC的中点，且AD1.(1)若ADC，求tanB；(2)若b2c28，求b，c.解：2在ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a4，.(1)若c2，求sinA；(2)若AB边上的中线长为，求AB的长解：3已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，bAD，abcosCcsinB.(1)求B的值；(2)求ABC的周长解：42023河北沧州模拟已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC(2bc)cosA0，角
2、A的平分线与边BC交于点D.(1)求角A；(2)若AD2，求b4c的最小值解：52023河北邯郸模拟记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S(a2b2c2)，c2.(1)若B，求a；(2)D为AB边上一点，从下列条件、条件中任选一个作为已知，求线段CD的最大值条件：CD为C的角平分线；条件：CD为边AB上的中线注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分解：62023湖北黄冈模拟在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足1，且AC.(1)求证：B2C；(2)已知BD是ABC的平分线，若a6，求线段BD长度的取值范围解：微专题5三角形中有关中线、角
3、平分线的问题1解析：(1)因为D为BC的中点，所以SABC2SADC2ADDCsinADC21DC，解得DC2，所以BDDC2，a4.因为ADC，所以ADB.在ABD中，由余弦定理，得c2AD2BD22ADBDcosADB1427，所以c.在ADC中，由余弦定理，得b2AD2DC22ADDCcosADC1423，所以b.在ABC中，由余弦定理，得cosB，所以sinB.所以tanB.(2)因为D为BC的中点，所以BDDC.因为ADBADC，所以cosADBcosADC，则在ABD与ADC中，由余弦定理，得，得1BD2c2(1BD2b2)，所以2BD2b2c226，所以BD，所以a2.在ABC中
4、，由余弦定理，得cosBAC，所以SABCbcsinBACbcbc，解得bc4.则由，解得bc2.2解析：(1)因为且a4，由正弦定理得，整理得cosBcosAcosCsinAcosC，因为ABC，可得cosBcos (AC)sinAsinCcosAcosC，可得sinAsinCsinAcosC，又因为A(0，)，可得sinA0，所以sinCcosC，即tanC，因为C(0，)，所以C，由正弦定理得且c2，可得sinA1.(2)设AB边上的中线为CD，则2，所以4|2()2b2a22abcosC，因为AB边上的中线长为，可得37b2164b，整理得b24b210，解得b3或b7(舍去)，所以A
5、Bc.3解析：(1)因为abcosCcsinB，由正弦定理得，sinAsinBcosCsinCsinB，又sinAsin (BC)sinBcosCcosBsinC，所以sinBcosCcosBsinCsinBcosCsinCsinB，所以cosBsinCsinCsinB，所以tanB，又B(0，)，所以B.(2)在ABC中，设a2x，cy，则BDDCx，在ABD中，由余弦定理有AD2AB2BD22ABBDcosB，即x2y2xy7，在ABC中，由余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB，即4x2y22xy7，联立得，x1，y3，即c3，a2.所以ABC的周长为5.4解析：(1)由正弦定理
6、化简acosC(2bc)cosA0可得：sinAcosC(2sinBsinC)cosA0，sinAcosCsinCcosA2sinBcosA，即sin (AC)2sinBcosA，由ABC，sin (AC)sin (B)sinB2sinBcosA，又B(0，)，sinB0，cosA，又A(0，)，A.(2)根据角A的平分线与边BC交于点D，所以BADCAD，SABDSACDSABC，即2csin2bsinbcsin，所以2(bc)bc，即.b4c2(b4c)()2(5)2(52)18，当且仅当时，即b6，c3时，等号成立所以b4c的最小值为18.5解析：(1)因为S(a2b2c2)，由余弦定理
7、可得：a2b2c22abcosC，所以S2abcosC，由三角形的面积公式可得SabsinC，所以2abcosCabsinC，所以tanC，又C(0，)，故C.由正弦定理得，且sinAsin (BC)sin ()sincoscossin，所以，故有a.(2)选择条件：在ABC中，由余弦定理a2b2c22abcosC，得a2b212ab，即(ab)2123ab123()2，故ab4，当且仅当ab2时，等号成立，又因为SCDASCDBSABC，所以aCDsinbCDsinabsin，所以(ab)CDab，所以CD(ab)(4)3，故CD的最大值为3.选择条件：由题2，平方得4|2222b2a22a
8、bcosCa2b2ab，在ABC中，由余弦定理得a2b212ab，即(ab)2123ab123()2，所以(ab)248.当且仅当ab2时，等号成立，故有4|CD|2a2b2ab(ab)2ab(ab)2(ab)2436，从而|CD|3，故CD的最大值为3.6解析：(1)由题意得，即.所以sin2Bsin2CsinAsinC，由正弦定理得b2c2ac，又由余弦定理得b2a2c22accosB，所以ca2ccosB，故sinCsinA2sinCcosB，故sinCsin (BC)2sinCcosB，整理得sinCsin (BC).又ABC为锐角三角形，则C(0，)，B(0，)，BC(，)，所以CBC，因此B2C.(2)在BCD中，由正弦定理得，所以.所以BD.因为ABC为锐角三角形，且B2C，所以，解得C.故cosC，所以2BD3.因此线段BD长度的取值范围(2，3).
