1、第七节 函数的图象第二章内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破课标解读衍生考点核心素养1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.1.作函数的图象2.函数图象的辨识3.函数图象的应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础 增分策略1.利用描点法作函数图象的流程2.函数图象间的变换(1)平移变换y=f(x)-k 微点拨对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.左加右减只针对x本身,与x的系数无关;上加下减指的是在f(x)整体上加减.(2)对
2、称变换微点拨y=ax(a0,且a1)的图象y=logax(a0,且a1)的图象.函数y=-f(-x)的图象微思考1函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)满足什么条件?微思考2若函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于点(a,b)对称,求f(x),g(x)的关系.提示:f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).提示:g(x)=2b-f(2a-x).(3)伸缩变换常用结论1.函数图象自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)f(-x)=f(2a+x)
3、;(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.2.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x)f(x)=-f(2a-x)f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称f(a+x)=2b-f(a-x)f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点对称.3.两个函数
4、图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称(由a+x=b-x得对称轴方程);(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.增素能 精准突破考点一考点二考点三考点一作函数的图象典例突破例1.分别画出下列函数的图象:考点一考点二考点三解:(1)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=
5、|lg(x-1)|的图象,如图所示(实线部分).(2)将y=2x的图象向左平移1个单位,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图所示.考点一考点二考点三突破技巧作函数图象的常用方法直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出图象变换法变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换描点法当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质考点一考点二考点三对点训练1作出下列函数的图象:解:(1)当x1时,lg x0,y=10|lg
6、x|=10lg x=x;这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出,如图.(2)y=2x+2的图象是将y=2x的图象向左平移2个单位长度.其图象如图.考点一考点二考点三考点二函数图象的辨识(多考向探究)考向1.知式判图典例突破考点一考点二考点三答案:B解析:函数f(x)的定义域为x|x0,考点一考点二考点三对点训练2(2021贵州贵阳模拟)函数g(x)=的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图象,则f(x)的图象大致为()考点一考点二考点三答案:D考点一考点二考点三考向2.知图判式典例突破例3.(2021山西怀仁期末)已知函数f(x)的局部图象如图所示,则f(x)的
7、解析式可能是()考点一考点二考点三答案:D解析:由图可得f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数.故f(x)为奇函数,与图象不符,故排除C;经分析,D符合要求,故选D.考点一考点二考点三考点一考点二考点三答案:D解析:由图易知,图象关于原点对称,故对应函数为奇函数.考点一考点二考点三突破技巧函数图象的识别方法特殊点法根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是否经过这些点,若不满足,则排除函数性质法根据选项中的图象特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项,有时需要借助导数工具求解极限思想应用极限思想来处理,可以使解题过程费时少、准确率高图象变换法有关函数y=f(x)与函数y=a
8、f(bx+c)+h的图象问题的判断,熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,可轻松破解此类问题考点一考点二考点三考点三函数图象的应用(多考向探究)考向1.研究函数的性质典例突破例4.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-,1)C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-,0)考点一考点二考点三答案:C画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调
9、递减.考点一考点二考点三突破技巧利用函数的图象研究函数的性质对于由解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最大(小)值、极值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.考点一考点二考点三对点训练4已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)()A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值-1,无最大值D.有最大值-1,无最小值考点一考点二考点三答案:C解析:
10、如图,画出|f(x)|=|2x-1|与g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|g(x),故h(x)=-g(x).综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值.考点一考点二考点三考向2.函数图象在不等式中的应用典例突破例5.(1)设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式 0的解集是()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)考点一考点二考点三答案:(1)D(2)D解析:(1)因为f
11、(x)为奇函数,在(0,+)上为增函数,即xf(x)0,且f(1)=0,f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)0等价于2xx+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图:两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2xx+1的解为x1.所以不等式f(x)0的解集为(-,0)(1,+).考点一考点二考点三突破技巧利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴的位置关系,数形结合来解决问题.考点一考点二考点三对点训练5函数f(x)是定义在-4,4上的偶函数,其在0,4上的图
12、象如图所示,那么不等式0的解集为.考点一考点二考点三考点一考点二考点三考向3.求参数的取值范围典例突破例6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当xf(x)成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2)(-,-6)C.(-2,0)D.(-2,0)(6,+)考点一考点二考点三答案:D解析:因为x0时)或向右(a0时,y=f(x)的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足f(x+a)f(x)成立;当af(x)成立,故a(-2,0)(6,+).故选D.考点一考点二考点三解题心得当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围.考点一考点二考点三对点训练6(2021陕西西安中学高三月考)函数f(x)=若|f(x)|-ax+a0恒成立,则实数a的取值范围是.答案:0,2解析:f(x)=若|f(x)|-ax+a0恒成立,即|f(x)|ax-a恒成立,在坐标系中画出函数y=|f(x)|的图象如图,而y=ax-a表示恒过(1,0)的直线,由图象可知,要使|f(x)|-ax+a0恒成立,只需y=x2-1在x1时,函数的图象在y=ax-a的上方,y=x2-1的导数为y=2x,在x=1处的切线的斜率为2,所以a2,并且a0.所以a0,2.本 课 结 束
